Question

Пусть f(x)=x³(x-5). Решите неравенство f ' (x) ≫ 0

Answer 1

Производная f(x)=3х^2

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(f'(x) > 0\), давайте начнем с нахождения производной функции \(f(x)\) и анализа её знаков.

Имеем функцию: \[ f(x) = x^3(x-5) \]

Для нахождения производной \(f'(x)\), воспользуемся правилом производной произведения и цепного правила: \[ f'(x) = (x-5)\frac{d}{dx}(x^3) + x^3\frac{d}{dx}(x-5) \]

Вычислим производные: \[ f'(x) = (x-5)(3x^2) + x^3(1) \]

Упростим выражение: \[ f'(x) = 3x^3 - 15x^2 + x^3 \] \[ f'(x) = 4x^3 - 15x^2 \]

Теперь, чтобы решить неравенство \(f'(x) > 0\), найдем корни уравнения \(f'(x) = 0\) и определим знак производной на интервалах, образованных этими корнями.

Уравнение \(4x^3 - 15x^2 = 0\) имеет два корня: \(x = 0\) и \(x = \frac{15}{4}\).

Теперь выберем тестовую точку из каждого интервала, образованного корнями, и определим знак производной на этих интервалах:

1. Если \(x < 0\), то выберем \(x = -1\): \[ f'(-1) = 4(-1)^3 - 15(-1)^2 = -4 - 15 = -19 \] Знак отрицательный.

2. Если \(0 < x < \frac{15}{4}\), то выберем \(x = 1\): \[ f'(1) = 4(1)^3 - 15(1)^2 = 4 - 15 = -11 \] Знак отрицательный.

3. Если \(x > \frac{15}{4}\), то выберем \(x = 4\): \[ f'(4) = 4(4)^3 - 15(4)^2 = 256 - 240 = 16 \] Знак положительный.

Таким образом, производная \(f'(x)\) положительна на интервале \((\frac{15}{4}, +\infty)\). Следовательно, решением неравенства \(f'(x) > 0\) является интервал \(x \in (\frac{15}{4}, +\infty)\).