Question

Решите уравнение: 3 log2^2 (x-2)-10 log2 (x-2)+3=0, где log2^2 – это log в степени 2 и 2 под log… Не деление! 2/2!!! И log2 – это тоже под log.

Answer 1

$3log_{2}^{2}(x-2)-10log_{2}(x-2)+3=0$

$t=log_{2}(x-2)$

$3t^{2}-10t+3=0$

$D=64$

$t_{1}=(10+8)/6=3, t_{2}=(10-8)/6=1/3$

 

$log_{2}(x-2)=3$

$x-2>0$  

$x>2$  - область определения функции

$x-2=2^{3}$

$x-2=8$

$x=10$

 

$log_{2}(x-2)=\frac{1}{3}$

$x-2=2^{\frac{1}{3}}$

$x=2+\sqrt[3]{2}$

 

Ответ: $10; 2+\sqrt[3]{2}$

 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. Заметим, что у вас использована запись "log2^2", что означает "логарифм по основанию 2 в квадрате". Давайте обозначим это за \( \log_2^2(x) = (\log_2(x))^2 \).

Итак, у вас дано уравнение: \[ 3(\log_2^2(x-2)) - 10\log_2(x-2) + 3 = 0 \]

Давайте введем замену: \( y = \log_2(x-2) \). Тогда наше уравнение примет вид: \[ 3y^2 - 10y + 3 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где в данном случае \(a = 3\), \(b = -10\), и \(c = 3\). Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \]

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два корня: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ y = \frac{10 \pm 8}{6} \]

Таким образом, получаем два значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{3}{2} \] \[ y_2 = 1 \]

Теперь вернемся к исходной замене: \[ \log_2(x-2) = \frac{3}{2} \]

Это означает, что \[ x - 2 = 2^{\frac{3}{2}} \]

Теперь решим это для \(x\): \[ x = 2^{\frac{3}{2}} + 2 \]

Также, второе решение: \[ \log_2(x-2) = 1 \]

\[ x - 2 = 2^1 \]

\[ x = 4 \]

Таким образом, уравнение имеет два решения: \[ x = 2^{\frac{3}{2}} + 2 \] \[ x = 4 \]