Question

РЕШИТЕ СИСТЕМУ НЕРАВЕНСТВ: x^2-5x-14> 0 x^2-2x-35 <0 5x-(x-5)《13 x <3 (5x-1)+17

Answer 1

(x-7)(x+2)>0
(x-7)(x+5)<0

x>7 x<-2
-5<x<7

-5<x<-2

Answer 2

Давайте решим систему неравенств поочередно.

1. Решим первое неравенство \(x^2 - 5x - 14 > 0\).

Для этого найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x - 14 = 0\). Уравнение можно факторизовать:

\[ (x - 7)(x + 2) > 0 \]

Теперь мы видим, что корни уравнения -2 и 7. Посмотрим, как меняется знак выражения \((x - 7)(x + 2)\) на интервалах между корнями и за пределами:

\[ \begin{align*} & (x - 7)(x + 2) > 0 \quad \text{для} \quad x < -2 \quad \text{или} \quad x > 7 \\ & (x - 7)(x + 2) < 0 \quad \text{для} \quad -2 < x < 7 \end{align*} \]

Таким образом, решение первого неравенства: \(x < -2\) или \(x > 7\).

2. Решим второе неравенство \(x^2 - 2x - 35 < 0\).

Также найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 2x - 35 = 0\):

\[ (x - 7)(x + 5) < 0 \]

Из этого уравнения видно, что корни -5 и 7. Аналогично, рассмотрим интервалы и определим, когда выражение меньше нуля:

\[ \begin{align*} & (x - 7)(x + 5) < 0 \quad \text{для} \quad -5 < x < 7 \end{align*} \]

Решение второго неравенства: \(-5 < x < 7\).

3. Решим третье неравенство \(5x - (x - 5) \leq 13 + x < 3 + (5x - 1) + 17\).

Преобразуем выражение:

\[ 4x + 5 \leq 13 + x < 20 + 5x \]

Теперь рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

\[ \begin{align*} & 4x + 5 \leq 13 + x \\ & 3x \leq 8 \\ & x \leq \frac{8}{3} \end{align*} \]

и

\[ \begin{align*} & 13 + x < 20 + 5x \\ & 8 < 4x \\ & x > 2 \end{align*} \]

Таким образом, решение третьего неравенства: \(2 < x \leq \frac{8}{3}\).

Итак, объединим все найденные интервалы:

\[ x < -2 \quad \text{или} \quad -5 < x < 7 \quad \text{или} \quad 2 < x \leq \frac{8}{3} \]

Это и есть решение системы неравенств.