Question

Найдите промежутки знакопостоянства функции y=14x-x²/x-7,5

Answer 1

Y=(14x-x²)/(x-7,5)    ОДЗ: x-7,5≠0   x≠7,5
x*(14-x)/(x-7,5)=0
x₁=0   x₂=14   x₃=7,5
-∞_____+_____0_____-_____7,5_____+_____14_____-_____+∞
y>0 при x∈(-∞;0)U(7,5;14)
y<0 при x∈(0;7,5)U(14;+∞)
y=0 при x₁=0 и x₂=14.

Answer 2

Для начала, давайте приведем данную функцию к более простому виду. Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом:

y = (14x - x²) / (x - 7.5)

Чтобы найти промежутки знакопостоянства этой функции, мы должны выяснить, когда функция положительна, отрицательна или равна нулю. Для этого нам нужно рассмотреть два случая: когда знаменатель (x - 7.5) равен нулю и когда он не равен нулю.

Знаменатель (x - 7.5) не равен нулю

Когда знаменатель не равен нулю, мы можем просто рассмотреть числитель (14x - x²) для определения знакопостоянства функции.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства числителя, мы должны решить неравенство:

14x - x² > 0

Для решения этого неравенства, давайте сначала найдем корни квадратного уравнения:

x² - 14x = 0

Факторизуя это уравнение, мы получим:

x(x - 14) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = 0 и x = 14.

Теперь, чтобы определить знакопостоянство числителя на разных интервалах, мы можем построить таблицу знаков, рассматривая значения числителя между корнями:

| x | 0 | 14 | |-------|-------|-------| | 14x | 0 | 196 | | x² | 0 | 196 | | 14x - x² | 0 | 0 |

Таким образом, числитель (14x - x²) всегда равен нулю на интервале от 0 до 14.

Знаменатель (x - 7.5) равен нулю

Когда знаменатель равен нулю, функция не определена. В этом случае, функция имеет разрыв в точке x = 7.5.

Промежутки знакопостоянства функции

Исходя из вышеизложенного, мы можем сделать следующие выводы о промежутках знакопостоянства функции:

1. Функция положительна на интервале (0, 7.5). 2. Функция равна нулю на интервале (7.5, 14). 3. Функция положительна на интервале (14, +бесконечность).

Для наглядности, давайте представим эту информацию на числовой оси:

   -∞      0    7.5   14    +∞
    ─┼──────┼──────┼──────┼─
    -     +0      -0     +     

Таким образом, мы определили промежутки знакопостоянства функции y = (14x - x²) / (x - 7.5).