Question

Решите неравенство: lg²x+lgx³+2≥0

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

\[ \log_2(x^2) + \log_2(x^3) + 2 \geq 0 \]

Для упрощения, воспользуемся свойствами логарифмов:

1. \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\) 2. \(n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)\)

Применим эти свойства:

\[ \log_2(x^2) + \log_2(x^3) + 2 = \log_2(x^2 \cdot x^3) + 2 = \log_2(x^5) + 2 \]

Теперь неравенство примет вид:

\[ \log_2(x^5) + 2 \geq 0 \]

Вычтем 2 из обеих сторон:

\[ \log_2(x^5) \geq -2 \]

Теперь применим свойство логарифма: если \(\log_a(b) \geq c\), то \(a^c \leq b\).

\[ 2^{-2} \leq x^5 \]

Вычислим левую часть:

\[ \frac{1}{4} \leq x^5 \]

Теперь извлечем пятый корень из обеих сторон:

\[ \sqrt[5]{\frac{1}{4}} \leq x \]

\[ x \geq \sqrt[5]{\frac{1}{4}} \]

Таким образом, решением неравенства является множество всех \(x\), больших или равных пятому корню из \(\frac{1}{4}\).