Question

Тригонометрия: Упростите выражение2 (( sin α/2 + cos α/2) ² - 1) · cosα

Answer 1

2 (( sin α/2 + cos α/2) ² - 1) · cosα=2(1+sin α-1)cosα=2sin αcosα=sin2 α

Answer 2

2(sin^2a/2+cos^2a/2+sina-1)cosa=2 sin a * cos a= sin2a

Answer 3

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и формулами для преобразования тригонометрических выражений.

Давайте начнем с преобразования выражения шаг за шагом:

1. Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ). Применим эту формулу к выражению sin(α/2 + cos(α/2): sin(α/2 + cos(α/2)) = 2sin((α/2)/2)cos((α/2)/2) = 2sin(α/4)cos(α/4) = 2sin(α/4)cos(α/4).

2. Заменим sin(α/2 + cos(α/2)) в исходном выражении на полученное выражение: 2((sin(α/2) + cos(α/2))² - 1) · cos(α) = 2((2sin(α/4)cos(α/4))² - 1) · cos(α).

3. Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ). Применим эту формулу к части выражения (2sin(α/4)cos(α/4))²: (2sin(α/4)cos(α/4))² = (cos(2α/4))² = (cos(α/2))².

Теперь заменим (2sin(α/4)cos(α/4))² в исходном выражении на полученное выражение: 2((2sin(α/4)cos(α/4))² - 1) · cos(α) = 2((cos(α/2))² - 1) · cos(α).

4. Воспользуемся формулой cos²(θ) = 1 - sin²(θ). Применим эту формулу к части выражения (cos(α/2))²: (cos(α/2))² = 1 - sin²(α/2).

Теперь заменим (cos(α/2))² в исходном выражении на полученное выражение: 2((cos(α/2))² - 1) · cos(α) = 2((1 - sin²(α/2)) - 1) · cos(α) = 2(-sin²(α/2)) · cos(α) = -2sin²(α/2)cos(α).

Таким образом, упрощенное выражение равно -2sin²(α/2)cos(α).