Question

Стороны треугольника равняются 12,15,18. Найдите биссектрису треугольника, которая проведена из вершины самого большого угла

Answer 1

есть формула для биссектрисы треугольника

lc=sqrt(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)

lc=sqrt(12*15*(12+15+18)(12+15-18))/(12+15)=sqrt(12*15*9*15*3)/27=15*9*2/27=10

Answer 2

*) вот чем мне решения Гоши68 нравятся - все в них правильно, но я полчаса потратил на выведение этой формулы. Интересно, сколько времени понадобится школьнику :) (я думаю, больше, чем полчаса, даже если он знает, как это делается, и бесконечное время, если не знает).

 

Треугольник АВС, a = 12, b = 15, c = 18; больший угол конечно - С (напротив стороны с).

Если  L - биссектриса угла С, то она делит треугольник на два, площади которых 

S1 = (1/2)*a*L*sin(C/2); S2 = (1/2)*b*L*sin(C/2);

Общая площадь S = S1 + S2 = S1 = (1/2)*a*b*sin(C); 

откуда

(a + b)*L*sin(C/2) = a*b*sin(C)  = 2*a*b*sin(C/2)*cos(C/2); 

L = 2*a*b*cos(C/2)/(a + b); (это одна из известных формул длины биссектрисы, я привел её вывод).

С другой стороны, если обозначить cos(C) = х, то из теоремы косинусов

a^2 + b^2 - 2*a*b*x = c^2;

x = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b); 

Если подставить значения a = 12, b = 15, c = 18; то x = 1/8; 

Из тригонометрической формулы 2*(cos(C/2))^2 - 1 = cos(C);

теперь легко найти косинус половинного угла по значению косинуса всего угла С

cos(C/2) = 3/4; 

откуда 

L = 2*12*15*3/(4*(12 + 15)) = 10; 

 

Еще один способ решения, самый очевидный, основан на формуле L^2 = a*b - z*y; где z и y - отрезки, на которые биссектриса делит сторону с.

То есть

z + y = c;

z/y = a/b;

откуда z = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b);

Если подставить значения  a = 12, b = 15, c = 18; то z = 18*12/27 = 8; y = 10; 

L^2 = 12*15 - 8*10 = 100;

L = 10;

само собой, формулу L^2 = a*b - z*y; надо уметь выводить, что тоже совсем не просто :)

 

Я не смог удержаться, и решил привести полное доказательство формулы, которую Гоша68 использовал :) Ну просто вот не могу отказать себе...

Из теоремы косинусов

cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);

откуда

1 + cos(C) = ((a + b)^2 - c^2)/(2*a*b) = 2*p*(p - c)/(a*b); где p = (a + b + c)/2;

отсюда cos(C/2) = √(p*(p - c)/a*b); осталось подставить это в доказанное ранее выражение L = 2*a*b*cos(C/2)/(a + b); и получится Гошина формула. 

Что-то это мне напоминает :) 

 

Чего то я завелся :) А как выводится формула L^2 = a*b - z*y; Это очень простая теорема, но очень красиво доказывается, не могу себе отказать :)

Пусть треугольник АВС, СК - биссектриса, и пусть М - это точка пересечения биссектрисы СК с описанной вокруг АВС окружностью. Тогда угол СВА равен углу СМА - они опираются на одну дугу АС, а углы АСМ и МСВ тоже равны, потому что СМ - биссектриса угла С (в этом вся соль!). Поэтому треугольники АМС и ВКС подобны, то есть

СМ/CA = CD/CK; или (CK + KM)*CK = CA*CB; откуда

CK^2 = CA*CB - C*K*KM; 

Но CK*KM = AK*KB; (ну, уж это то вы знаете... хотя это автоматически следует из подобия треугольников АКМ и СКВ...)

откуда CK^2 = CA*CB - KA*KB; чтд.

 

Ну вот, поскольку я полностью исчерпал тему, любой модератор может смело это удалить, как нарушение (ну в самом деле, нет чертежа, много лишнего текста, полно выходящих за рамки школьной программы формул, в некоторых местах - откровенный флуд..) Удаляйте смело, а я погляжу, кто это сделает :)

 

Answer 3

Для нахождения биссектрисы треугольника, проведенной из вершины самого большого угла, мы можем использовать формулу для биссектрисы в треугольнике. Предположим, что стороны треугольника равны \(a\), \(b\) и \(c\), а \(C\) - угол напротив стороны \(c\), который является самым большим углом.

В данном случае у нас есть треугольник со сторонами 12, 15 и 18. Сначала найдем самый большой угол, обозначим его \(C\). Мы можем использовать косинусное правило для этого:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где \(c\) - сторона напротив угла \(C\). Подставим значения:

\[18^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos(C)\]

Решив это уравнение, мы найдем косинус угла \(C\). После этого можно найти сам угол \(C\).

Теперь, когда у нас есть самый большой угол, мы можем использовать формулу для биссектрисы:

\[BD = \frac{2ab}{a + b} \cdot \cos\left(\frac{C}{2}\right)\]

Где \(BD\) - биссектриса из вершины угла \(C\). Подставим значения и решим:

\[BD = \frac{2 \cdot 12 \cdot 15}{12 + 15} \cdot \cos\left(\frac{C}{2}\right)\]

Теперь у нас есть длина биссектрисы. Остается только решить уравнение для угла \(C\), найти его половину и взять косинус от половины. Таким образом, мы найдем косинус угла, который нужен для нахождения биссектрисы.