Question

Sin^2x -2sinxcosx -3cos^2x=0

Answer 1

Sin²x - 2sinxcosx - 3cos²x = 0
tg²x - 2tgx - 3 = 0
Пусть t = tgx.
t² - 2t - 3 = 0
t1 + t2 = 2
t1•t2 = -3
t1 = -1
t2 = 3
Обратная замена:
tgx = -1
x = -π/4 + πn, n ∈ Z
tgx = 3
x = arctg3 + πn, n ∈ Z.

Answer 2

Уравнение, которое вы предоставили, является квадратным уравнением относительно тригонометрических функций. Давайте решим его.

У вас есть уравнение:

\[ \sin^2x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2x = 0 \]

Это уравнение может быть решено путем преобразования его в более удобную форму. Начнем с того, чтобы объединить косинусы и синусы:

\[ \sin^2x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2x = \sin^2x - 3\cos^2x + \sin x \cos x - \sin x \cos x \]

Теперь, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями, такими как \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), чтобы упростить уравнение:

\[ (1 - 4\cos^2x) + \sin x \cos x - \sin x \cos x = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ 1 - 4\cos^2x = 0 \]

Решим это уравнение для \(\cos x\):

\[ 4\cos^2x = 1 \]

\[ \cos^2x = \frac{1}{4} \]

\[ \cos x = \pm\frac{1}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(\cos x\): \(\cos x = \frac{1}{2}\) или \(\cos x = -\frac{1}{2}\). Теперь мы можем найти соответствующие значения для \(\sin x\) с использованием тригонометрической идентичности \(\sin^2x + \cos^2x = 1\):

Если \(\cos x = \frac{1}{2}\), то \(\sin^2x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\), и \(\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Если \(\cos x = -\frac{1}{2}\), то \(\sin^2x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\), и \(\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, у уравнения есть четыре решения:

1. \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos x = \frac{1}{2}\). 2. \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos x = \frac{1}{2}\). 3. \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos x = -\frac{1}{2}\). 4. \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos x = -\frac{1}{2}\).