Question

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее в основании хорду, стягивающую дугу альфа. диагональ сечения равна m и образует с плоскостью основания угол фи. найти площадь боковой поверхности

Answer 1

Решение во вложении----------------------------

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим данное нам тело: цилиндр и сечение. Пусть \(AB\) - хорда, а \(\alpha\) - угол между плоскостью основания и диагональю сечения. Также пусть \(CD\) - диаметр цилиндра (проходящий через центр основания).

Известно, что диагональ сечения равна \(m\), и угол с плоскостью основания составляет \(\phi\).

Так как сечение отсекает хорду \(AB\), то она делит ее пополам, и точка пересечения сечения и хорды образует прямой угол. Пусть эта точка обозначается как \(O\), центр основания цилиндра.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \(OAB\), в котором известны гипотенуза \(OA = \frac{CD}{2}\), катет \(OB = \frac{AB}{2} = \frac{m}{2}\) и угол \(\alpha\).

Используем тригонометрическую функцию тангенса для выражения катета через гипотенузу и угол: \[ \tan(\alpha) = \frac{OB}{OA} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{\frac{m}{2}}{\frac{CD}{2}} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{m}{CD} \]

Теперь найдем высоту треугольника \(OAB\), которая является радиусом цилиндра. Обозначим эту высоту как \(h\). Мы можем использовать тригонометрию: \[ \tan(\phi) = \frac{h}{OA} \] \[ \tan(\phi) = \frac{h}{\frac{CD}{2}} \] \[ \tan(\phi) = \frac{2h}{CD} \]

Теперь у нас есть два уравнения, содержащих \(\frac{m}{CD}\) и \(\frac{2h}{CD}\): \[ \tan(\alpha) = \frac{m}{CD} \] \[ \tan(\phi) = \frac{2h}{CD} \]

Решим систему этих уравнений для нахождения \(\frac{m}{CD}\) и \(\frac{2h}{CD}\). После этого мы сможем найти \(h\) и, следовательно, радиус цилиндра.

После того как радиус цилиндра найден, площадь его боковой поверхности \(S\) может быть вычислена по формуле: \[ S = 2\pi rh \]

Где \(r\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.