Question

Решить дифференциальное уравнениеx^3dy=y^3dx

Answer 1

x^3dy=y^3dx

y=0 -  тривальное решение

пусть y не равно 0

 

dy\(y^3)=dx\(x^3)

-1\(2y^2)=-1\(2x^2)+c c -любое действительное

1\y^2-1\x^2=c  - любое действительное

Ответ: y=0 -  тривиальное решение

1\y^2-1\x^2=c  - любое действительное

(в умных универах это учат еще като обединять, но я увы не умею)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением, разрешенным относительно производной y по переменной x. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод разделения переменных.

Метод разделения переменных

Шаг 1: Перепишем дифференциальное уравнение в виде:

x^3 dy = y^3 dx

Шаг 2: Разделим обе части уравнения на x^3 и y^3:

dy / y^3 = dx / x^3

Шаг 3: Проинтегрируем обе части уравнения. Интегрирование левой части даст:

∫(dy / y^3) = ∫(dx / x^3)

Для интегрирования обеих частей уравнения, мы можем использовать степенное правило интегрирования:

∫(dy / y^3) = -1 / (2y^2) + C1 ∫(dx / x^3) = -1 / (2x^2) + C2

где C1 и C2 - константы интегрирования.

Шаг 4: Теперь мы имеем следующее уравнение:

-1 / (2y^2) + C1 = -1 / (2x^2) + C2

Мы можем объединить константы интегрирования C1 и C2 в одну константу C:

-1 / (2y^2) = -1 / (2x^2) + C

Шаг 5: Решим это уравнение относительно y:

-1 / (2y^2) = -1 / (2x^2) + C

Умножим обе части уравнения на -1/2:

1 / (2y^2) = 1 / (2x^2) - C

Теперь возьмем взаимную инверсию обеих частей уравнения:

2y^2 = 2x^2 / (1 - 2Cx^2)

Шаг 6: Упростим уравнение:

y^2 = x^2 / (1 - 2Cx^2)

Итоговый ответ

Итак, решение дифференциального уравнения x^3 dy = y^3 dx имеет вид:

y^2 = x^2 / (1 - 2Cx^2)

где C - произвольная константа.