Question

Полный дифференциал функции z=tgx/y

Answer 1

$dz = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot dx+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot dy \\ \frac{\partial z}{\partial x}= (z)'_x= \frac{tgx'}{y}=\frac{\frac{1}{cos^2x}}{y}=\frac{1}{y\cdot cos^2x}\\ \frac{\partial z}{\partial y} = tgx \cdot \frac{1}{y}'=-\frac{tgx}{y^2}\\ dz=\frac{1}{y\cdot cos^2x}\cdot dx-\frac{tgx}{y^2}\cdot dy$

Answer 2

Функция z = tg(x/y) является составной функцией, где внутренняя функция z = tg(u) зависит от переменной u = x/y. Для того чтобы найти полный дифференциал функции z, мы должны учесть как изменение переменной u, так и изменение переменных x и y.

Расчет частных производных

Для начала, найдем частные производные функции z = tg(x/y) по переменным x и y.

Частная производная по переменной x (при фиксированном y): ∂z/∂x = ∂(tg(x/y))/∂x

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: ∂(tg(x/y))/∂x = (1/cos^2(u)) * ∂u/∂x

где u = x/y

Частная производная по переменной y (при фиксированном x): ∂z/∂y = ∂(tg(x/y))/∂y

Аналогично, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: ∂(tg(x/y))/∂y = (1/cos^2(u)) * ∂u/∂y

Нахождение ∂u/∂x и ∂u/∂y

Чтобы вычислить частные производные по x и y, нам необходимо найти производные функции u = x/y по этим переменным.

∂u/∂x = ∂(x/y)/∂x = 1/y

∂u/∂y = ∂(x/y)/∂y = -x/y^2

Подстановка в частные производные функции z

Теперь, зная значения ∂u/∂x и ∂u/∂y, мы можем подставить их в частные производные функции z = tg(x/y):

∂z/∂x = (1/cos^2(u)) * ∂u/∂x = (1/cos^2(x/y)) * (1/y)

∂z/∂y = (1/cos^2(u)) * ∂u/∂y = (1/cos^2(x/y)) * (-x/y^2)

Выражение полного дифференциала

Теперь, имея частные производные функции z = tg(x/y) по переменным x и y, мы можем записать полный дифференциал функции z:

dz = (∂z/∂x) * dx + (∂z/∂y) * dy

где dx и dy - это изменения переменных x и y соответственно.

Пример использования полного дифференциала

Допустим, у нас есть функция z = tg(x/y), и мы хотим найти приближенное изменение функции z при изменении переменных x и y. Мы можем использовать полный дифференциал для этого.

Пусть dx = Δx и dy = Δy - это изменения переменных x и y соответственно. Тогда приближенное изменение функции z будет равно:

Δz ≈ (∂z/∂x) * Δx + (∂z/∂y) * Δy

где (∂z/∂x) и (∂z/∂y) - значения частных производных функции z по переменным x и y соответственно.