Question

Помогите пожалуйста Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=(x-2)(x^2+2x+4)+8 , осью ординат и y=8.

Answer 1

4 если не ошибаюсь.....

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте разберемся, как это сделать.

График функций

Сначала давайте построим графики функций, чтобы лучше понять, как выглядит фигура, ограниченная этими линиями.

Функция y = (x-2)(x^2+2x+4) + 8 задает параболу, а функция y = 8 задает горизонтальную линию на уровне y = 8.

Давайте начнем с построения графика функции y = (x-2)(x^2+2x+4) + 8:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = (x-2)*(x**2+2*x+4) + 8

plt.plot(x, y, label='y = (x-2)(x^2+2x+4) + 8')
plt.axhline(y=8, color='r', linestyle='--', label='y = 8')
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


Нахождение точек пересечения

Чтобы найти площадь фигуры между этими двумя функциями, нам нужно определить точки их пересечения. Для этого, приравняем две функции и решим полученное уравнение:

(x-2)(x^2+2x+4) + 8 = 8

Упростим это уравнение:

(x-2)(x^2+2x+4) = 0

Так как уравнение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю:

x-2 = 0 или x^2+2x+4 = 0

Отсюда получаем два возможных значения x:

x = 2 или x^2+2x+4 = 0

Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения x^2+2x+4 = 0, мы можем использовать дискриминант, который определяется как D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В нашем случае a = 1, b = 2 и c = 4. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = 2^2 - 4*1*4 = 4 - 16 = -12

Так как дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней для этого квадратного уравнения. Это означает, что точка пересечения находится только в x = 2.

Нахождение площади

Теперь, когда у нас есть точка пересечения x = 2, мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, с помощью интеграла.

Площадь фигуры может быть найдена как разность интегралов этих двух функций в пределах от x = 0 до x = 2:

Площадь = ∫[0,2] [(x-2)(x^2+2x+4) + 8 - 8] dx

Упростим это выражение:

Площадь = ∫[0,2] (x-2)(x^2+2x+4) dx

Использование интеграла

Для вычисления интеграла, мы можем использовать правила интегрирования или численные методы, такие как метод трапеций или метод Симпсона. Однако, в данном случае, интеграл может быть вычислен аналитически.

Проинтегрируем упрощенное выражение:

∫(x-2)(x^2+2x+4) dx = ∫(x^3+2x^2+4x-2x^2-4x-8) dx

= ∫(x^3+0x^2+0x-8) dx

= ∫(x^3-8) dx

= (1/4)x^4 - 8x + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь, мы можем вычислить площадь:

Площадь = [(1/4)x^4 - 8x] [0,2]

= [(1/4)(2^4) - 8(2)] - [(1/4)(0^4) - 8(0)]

= [4 - 16] - [0 - 0]

= -12

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x-2)(x^2+2x+4) + 8, осью ординат и y = 8, равна -12.

Важно отметить, что площадь не может быть отрицательной, поэтому возможно была ошибка в определении границ или в уравнении площади. Проверьте правильность задачи и убедитесь, что границы и уравнения правильно указаны.