Question

решите неравенство 2cos^2x-cosx-1<0 пожалуйста срочно

Answer 1

3соs(в квадрате)-3синус в квадрате - косинус равно 3косинус квадрат-косинус меньше 0,косинут потом скобка 3 косинус-1скобка закрывается меньше0.косминусменьше нуля,это частный случай,должен быть в книге,

 

Answer 2

Конечно, давайте решим это неравенство шаг за шагом.

Неравенство имеет вид: \(2\cos^2x - \cos x - 1 < 0\).

Для удобства, обозначим \(\cos x\) как \(t\), тогда неравенство примет вид: \(2t^2 - t - 1 < 0\).

Теперь давайте решим квадратное уравнение \(2t^2 - t - 1 = 0\). Мы можем использовать метод дискриминанта.

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где у нас есть уравнение вида \(at^2 + bt + c = 0\).

В нашем случае \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\).

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1,\]

\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}.\]

Теперь мы можем использовать эти корни для разбиения числовой оси на интервалы и определения знака выражения \(2t^2 - t - 1\):

1. \(t < -\frac{1}{2}\), 2. \(-\frac{1}{2} < t < 1\), 3. \(t > 1\).

Выберем точку из каждого интервала для проверки знака. Например:

1. Подставим \(t = -1\), получаем \(2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 > 0\). 2. Подставим \(t = 0\), получаем \(2(0)^2 - 0 - 1 = -1 < 0\). 3. Подставим \(t = 2\), получаем \(2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0\).

Итак, неравенство \(2t^2 - t - 1 < 0\) выполняется при \(-\frac{1}{2} < t < 1\).

Теперь подставим обратно \(\cos x\):

\(-\frac{1}{2} < \cos x < 1.\)

Итак, решение неравенства \(2\cos^2x - \cos x - 1 < 0\) на интервале \([0, 2\pi)\) это:

\[0 < x < \frac{2\pi}{3} \quad \text{или} \quad \frac{4\pi}{3} < x < 2\pi.\]