Question

решить уравнения: √2 cos (x- pi/4) - cos x = √3/2√2 sin (pi/4-x) + sin x = - 1/2доказать тождество: sin (45 градусов - a) / cos (45 градусов - a) = cos a - sin a / cos a + sin a

Answer 1

 √2 cos (x- pi/4) = sin x + cos x

Уравнение перепишется как sin x = sqrt(3)/2

x=(-1)^k * pi/3 + 2pik, k in Integers

 

√2 sin (pi/4-x) = cos x - sin x

cos x = -1/2

x=+- 2pi/3+pi n, n in Integers

 

sin (45 градусов - a)=1/√2*(cos x - sin x)

cos (x- pi/4) =1/√2(sin x + cos x)

Разделите друг на друга выражения и все получится.

 

Answer 2

√2 cos (x- pi/4) = sin x + cos x
sin x = sqrt(3)/2
x=(-1)^k * pi/3 + 2pik, k in Integers
√2 sin (pi/4-x) = cos x - sin x
cos x = -1/2
x=+- 2pi/3+pi n, n in Integers
sin (45 градусов - a)=1/√2*(cos x - sin x)
cos (x- pi/4) =1/√2(sin x + cos x)

.

Answer 3

Давайте начнем с решения уравнения:

\[ \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) - \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - x) + \sin(x) = -\frac{1}{2} \]

1. Рассмотрим первую часть уравнения:

\[ \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) - \cos(x) \]

Используем тригонометрические тождества. Воспользуемся формулой разности косинусов:

\[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

Таким образом:

\[ \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} (\cos x \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \sin \frac{\pi}{4}) \]

\[ = \sqrt{2} (\frac{\cos x}{\sqrt{2}} + \frac{\sin x}{\sqrt{2}}) = \cos x + \sin x \]

Теперь у нас уравнение принимает вид:

\[ \cos x + \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - x) + \sin(x) = -\frac{1}{2} \]

2. Теперь рассмотрим вторую часть уравнения:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - x) + \sin(x) = -\frac{1}{2} \]

Разложим синус разности углов:

\[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \]

Применим это тождество:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - x) + \sin(x) \]

\[ = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} (\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x) + \sin x \]

\[ = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x) + \sin x \]

\[ = \sqrt{3} (\cos x - \sin x) + \sin x \]

Теперь у нас уравнение принимает вид:

\[ \cos x + \sin x - \cos x = \sqrt{3} (\cos x - \sin x) + \sin x = -\frac{1}{2} \]

3. Решим получившееся уравнение:

\[ \sqrt{3} (\cos x - \sin x) + \sin x = -\frac{1}{2} \]

\[ \sqrt{3} \cos x - \sqrt{3} \sin x + \sin x = -\frac{1}{2} \]

\[ \sqrt{3} \cos x - (\sqrt{3} + 1) \sin x = -\frac{1}{2} \]

\[ \sqrt{3} \cos x = (\sqrt{3} + 1) \sin x -\frac{1}{2} \]

\[ \cos x = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \sin x -\frac{1}{2\sqrt{3}} \]

Теперь мы получили уравнение, которое сводится к тождеству:

\[ \tan x = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} -\frac{1}{2\sqrt{3}} \]

\[ \tan x = \frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} -\frac{1}{2\sqrt{3}} \]

\[ \tan x = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \]

\[ \tan x = -\frac{\sqrt{3}}{6} \]

Теперь, чтобы доказать тождество:

\[ \frac{\sin(45^\circ - a)}{\cos(45^\circ - a)} = \frac{\cos a - \sin a}{\cos a + \sin a} \]

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами:

\[ \sin(45^\circ - a) = \sin 45^\circ \cos a - \cos 45^\circ \sin a \]

\[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \]

\[ = \frac{\cos a - \sin a}{\sqrt{2}} \]

\[ \cos(45^\circ - a) = \cos 45^\circ \cos a + \sin 45^\circ \sin a \]

\[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \]

\[ = \frac{\cos a + \sin a}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставим эти результаты в левую часть тождества:

\[ \frac{\sin(45^\circ - a)}{\cos(45^\circ - a)} = \frac{\frac{\cos a - \sin a}{\sqrt{2}}}{\frac{\cos a + \sin a}{\sqrt{2}}} \]

\[ = \frac{\cos a - \sin a}{\cos a + \sin a} \]

Таким образом, левая часть тождества совпадает с правой, что и требовалось доказать.