Question

Как доказать, что прямая x + 2y + 3 = 0 равноудалена от двух других прямых x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0 ?

Answer 1

1. нужно доказать, что прямые параллельны, иначе расстояние между ними было бы равно нулю.
2. посчитать расстояние между точками, лежащими на этих прямых, в пересечении с любой другой прямой (но не параллельной), например вертикальной x=0.

1. выразим y через x
y1 =-(x+3)/2
y2=-(x+5)/2
y3 =-(x+1)/2
угол наклона графика y(x) равен производной в соответствующей точке (в данном случае в любой), но так как производные у всех функций одинаковые, то угол наклона один и тот же, т.е. они параллельны.
2. y1(0)=3
y2(0)=5
y3(0)=1
расстояние между точками (а значит и прямыми):
h1=5-3=2
h2=1-3=-2,
так как |h1| = |h2|, значит расстояние одинаковое.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая x + 2y + 3 = 0 равноудалена от двух других прямых x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0, мы можем использовать геометрический подход.

Геометрическое решение:

Чтобы доказать, что прямая x + 2y + 3 = 0 равноудалена от прямых x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0, мы можем найти точку пересечения этих прямых и проверить, что расстояние от этой точки до каждой из прямых одинаково.

Для начала, найдем точку пересечения прямых x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0. Для этого мы можем решить систему уравнений, состоящую из этих двух уравнений.

Вычтем одно уравнение из другого: (x + 2y + 5) - (x + 2y + 1) = 0 - 0 Упростим: 4 = 0

Мы получили противоречие, так как уравнение 4 = 0 не имеет решений. Это означает, что прямые x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0 не пересекаются и параллельны друг другу.

Теперь найдем расстояние от прямой x + 2y + 3 = 0 до каждой из прямых x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0. Для этого мы можем использовать формулу расстояния от точки до прямой.

Формула расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 выглядит следующим образом: d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Для прямой x + 2y + 3 = 0, A = 1, B = 2 и C = 3.

Теперь найдем расстояние от прямой x + 2y + 3 = 0 до прямой x + 2y + 5 = 0: d1 = |1*0 + 2*0 + 3| / sqrt(1^2 + 2^2) = 3 / sqrt(5)

Теперь найдем расстояние от прямой x + 2y + 3 = 0 до прямой x + 2y + 1 = 0: d2 = |1*0 + 2*0 + 3| / sqrt(1^2 + 2^2) = 3 / sqrt(5)

Мы видим, что расстояние от прямой x + 2y + 3 = 0 до прямой x + 2y + 5 = 0 равно расстоянию от прямой x + 2y + 3 = 0 до прямой x + 2y + 1 = 0. Это означает, что прямая x + 2y + 3 = 0 равноудалена от прямых x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0.

Ответ:

Мы доказали, что прямая x + 2y + 3 = 0 равноудалена от прямых x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0, используя геометрический подход. Расстояние от прямой x + 2y + 3 = 0 до каждой из прямых x + 2y + 5 = 0 и x + 2y + 1 = 0 одинаково и равно 3 / sqrt(5).