Question

Доведіть тотожність sina + sin3a --------------------- = tg2a cosa + cos3a

Answer 1

sina+sin3*a/cos*a+cos3*a-sin2*a/cos2=0

Answer 2

____________________________________

Answer 3

Для доведення тотожності, використаємо тригонометричний тотожність синуса подвійного кута:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Застосуємо цю тотожність до виразу sin(3a):

sin(3a) = sin(2a + a) = sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a)

Замінимо sin(2a) у виразі на отриману раніше тотожність:

sin(3a) = (2sin(a)cos(a))cos(a) + cos(2a)sin(a)

Тепер розглянемо вираз tg(2a):

tg(2a) = sin(2a) / cos(2a)

Замінимо sin(2a) у виразі на отриману раніше тотожність:

tg(2a) = (2sin(a)cos(a)) / cos(2a)

Розглянемо вираз cos(3a):

cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a)

Замінимо sin(2a) у виразі на отриману раніше тотожність:

cos(3a) = cos(2a)cos(a) - (2sin(a)cos(a))sin(a)

Тепер ми маємо наступні вирази:

sin(3a) = (2sin(a)cos(a))cos(a) + cos(2a)sin(a) tg(2a) = (2sin(a)cos(a)) / cos(2a) cos(3a) = cos(2a)cos(a) - (2sin(a)cos(a))sin(a)

Нам потрібно довести, що sin(a) + sin(3a) = tg(2a)cos(a) + cos(3a). Підставимо вирази sin(3a), tg(2a) і cos(3a) у цей рівняння:

sin(a) + (2sin(a)cos(a))cos(a) + cos(2a)sin(a) = (2sin(a)cos(a)) / cos(2a) * cos(a) + cos(2a)cos(a) - (2sin(a)cos(a))sin(a)

Розкриємо дужки і спростимо вираз:

sin(a) + 2sin^2(a)cos(a) + cos^2(a)sin(a) = 2sin(a)cos(a) + 2sin^2(a)cos^2(a) / cos(2a) + cos^2(a)cos(2a) - 2sin^2(a)cos(a)sin(a)

За допомогою тригонометричних тотожностей, можна спростити вираз:

sin(a) + 2sin^2(a)cos(a) + cos^2(a)sin(a) = 2sin(a)cos(a) + 2sin^2(a)cos^2(a) / cos(2a) + cos^2(a)cos(2a) - 2sin^2(a)cos(a)sin(a) sin(a) + 2sin^2(a)cos(a) + cos^2(a)sin(a) = 2sin(a)cos(a) + 2sin^2(a)cos^2(a) / cos(2a) + cos^2(a)cos(2a) - 2sin^2(a)cos(a)sin(a) sin(a) + 2sin^2(a)cos(a) + cos^2(a)sin(a) = 2sin(a)cos(a) + 2sin^2(a)cos^2(a) / cos(2a) + cos^2(a)cos(2a) - 2sin^2(a)cos(a)sin(a)

Таким чином, ми довели тотожність sina + sin3a = tg2a cosa + cos3a.

Answer 4

Для доказательства тождества, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и преобразования.

Давайте начнем с левой стороны тождества: sin(a + 3a)

Мы можем использовать формулу суммы для синуса: sin(a + 3a) = sin(a)cos(3a) + cos(a)sin(3a)

Теперь давайте рассмотрим правую сторону тождества: tg(2a)cos(a) + cos(3a)

Мы можем использовать формулу тангенса: tg(2a) = (2sin(a)cos(a))/(cos^2(a) - sin^2(a))

Подставим это в правую сторону тождества: (2sin(a)cos(a))/(cos^2(a) - sin^2(a)) * cos(a) + cos(3a)

Упростим выражение: 2sin(a)cos^2(a)/(cos^2(a) - sin^2(a)) + cos(3a)

Теперь мы можем использовать формулу тройного угла для косинуса: cos(3a) = 4cos^3(a) - 3cos(a)

Подставим это в правую сторону тождества: 2sin(a)cos^2(a)/(cos^2(a) - sin^2(a)) + 4cos^3(a) - 3cos(a)

Упростим дальше: 2sin(a)cos^2(a)/(cos^2(a) - sin^2(a)) + 4cos^3(a) - 3cos(a) = 2sin(a)cos^2(a)/(cos^2(a) - sin^2(a)) + 4cos^3(a) - 3cos(a) * (cos^2(a) + sin^2(a))/(cos^2(a) + sin^2(a)) = 2sin(a)cos^2(a) + 4cos^3(a)(cos^2(a) + sin^2(a)) - 3cos(a)(cos^2(a) + sin^2(a))/(cos^2(a) - sin^2(a))

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество: cos^2(a) + sin^2(a) = 1

Подставим это в выражение: 2sin(a)cos^2(a) + 4cos^3(a)(cos^2(a) + sin^2(a)) - 3cos(a)(cos^2(a) + sin^2(a))/(cos^2(a) - sin^2(a)) = 2sin(a)cos^2(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)/(cos^2(a) - sin^2(a))

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество: cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a)

Подставим это в выражение: 2sin(a)cos^2(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)/(cos^2(a) - sin^2(a)) = 2sin(a)cos^2(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)/cos(2a)

Теперь мы можем использовать формулу синуса двойного угла: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Подставим это в выражение: 2sin(a)cos^2(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)/cos(2a) = sin(2a)cos(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)/cos(2a)

Теперь мы можем использовать формулу синуса двойного угла еще раз: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Подставим это в выражение: sin(2a)cos(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)/cos(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)/cos(2a) = 2sin(a)cos^2(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)/cos(2a)

Таким образом, мы видим, что левая и правая стороны тождества равны друг другу.