Question

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения 2yy''=(y')^2

Answer 1

Итак, в данном уравнении отсутствует аргумент х, поэтому алгоритм действий будет следующим:
1) заменим y' на функцию, зависящую от у: y'=z(y)
2) найдем 2-ю производную этой функции: y''=(z(y))'=z'(y)*y'
3) учитывая, что y'=z(y), то y''=z'(y)*z(y)
4) заменим все, что можем и найдем решение

$2y* \frac{dz}{dy} *z=z^2$
$\frac{dz}{dy} =\frac{z}{2y}$
$\frac{dz}{z} =\frac{dy}{2y}$
$ln z=ln\sqrt{y}+C$
$ln z= {ln C\sqrt{y}}$
$z=C_1\sqrt{y}$

Проведем обратную замену

$y'=C_1\sqrt{y}$
$\frac{dy}{dx} =C_1\sqrt{y}$
$\frac{dy}{\sqrt{y}}=C_1dx$
$2 \sqrt{y} =C_1x+C_2$
$\sqrt{y} =\frac {C_1x+C_2}{2}$
$y =(\frac {C_1x+C_2}{2})^2$

Answer 2

Давайте рассмотрим дифференциальное уравнение внимательнее и найдем его общее решение.

У вас дано уравнение: \(2yy'' = (y')^2\).

Для начала, обозначим \(y' = \frac{dy}{dx}\) и \(y'' = \frac{d^2y}{dx^2}\).

Теперь подставим эти обозначения в уравнение:

\[2y \frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\]

Преобразуем уравнение. Умножим обе стороны на \(dx^2\) и поделим на \(2y\):

\[y \, dy = \frac{1}{2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \, dx\]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

\[\int y \, dy = \frac{1}{2} \int \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \, dx\]

Интегрируем левую сторону:

\[\frac{1}{2} y^2 = \frac{1}{2} \int \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \, dx + C_1\]

где \(C_1\) - константа интегрирования.

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[y^2 = \int \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \, dx + C_1\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[y = \pm \sqrt{\int \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \, dx + C_1}\]

Где \(\pm\) означает два возможных знака.

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения:

\[y = \pm \sqrt{\int \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \, dx + C_1}\]

где \(C_1\) - произвольная константа интегрирования.