Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90, угол A=30, СD- высота, AD=18 найти BD

Answer 1

BD равно 18, так как высота CD делит сторону AB пополам

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам, а угол A равен 30 градусам. Пусть CD - высота, AD - катет, а BD - другой катет.

Так как угол A равен 30 градусам, то угол B (внутренний угол треугольника) будет равен 180 - 90 - 30 = 60 градусам, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где углы A, B и C равны соответственно 30, 60 и 90 градусам.

Используем тригонометрический тангенс угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

Для угла B в треугольнике ABC:

\[ \tan(B) = \frac{CD}{BD} \]

Так как угол B равен 60 градусам, тангенс 60 градусов равен \(\sqrt{3}\) (в радианах это примерно 1.732).

\[ \sqrt{3} = \frac{CD}{BD} \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ CD = \sqrt{3} \cdot BD \]

Известно, что AD = 18, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ACD:

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

\[ AC^2 = 18^2 + (\sqrt{3} \cdot BD)^2 \]

Так как AC - гипотенуза треугольника ABC, а BC = BD (так как треугольник прямоугольный), то мы можем записать:

\[ AC^2 = BC^2 + CD^2 \]

\[ BC^2 + CD^2 = 18^2 + (\sqrt{3} \cdot BD)^2 \]

Теперь подставим BC = BD:

\[ BD^2 + CD^2 = 18^2 + (\sqrt{3} \cdot BD)^2 \]

Теперь подставим выражение для CD из предыдущего уравнения:

\[ BD^2 + (\sqrt{3} \cdot BD)^2 = 18^2 + (\sqrt{3} \cdot BD)^2 \]

Упростим уравнение, вычитая \((\sqrt{3} \cdot BD)^2\) с обеих сторон:

\[ BD^2 = 18^2 \]

\[ BD = 18 \]

Таким образом, BD равно 18.