Question

Найти объем тела вращения вокруг оси х: y^2=6x;y=0;x=3

Answer 1

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

Решение: Построим на координатной плоскости графики функций . Выделим площадь фигуры, которую надо найти.



III. Изучение нового материала.

– Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (Слайд)(На рисунке представлена плоская фигура.)



– Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (Слайд)(На рисунке представлена объемная фигура.)

Answer 2

Для нахождения объема тела вращения вокруг оси x для заданной кривой, используется метод цилиндрических колец (метод карандаша).

У вас дана кривая в виде уравнения \(y^2 = 6x\) в первом квадранте (так как \(y\) всегда положителен). Также даны граничные значения \(y = 0\) и \(x = 3\).

Сначала определим границы интегрирования. Уравнение \(y^2 = 6x\) можно переписать в виде \(y = \sqrt{6x}\), так как \(y\) положительный:

\[y = \sqrt{6x}\]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\), чтобы найти границы интегрирования:

\[6x = y^2\]

\[x = \frac{y^2}{6}\]

Таким образом, границы интегрирования для \(x\) будут от 0 до 3 (значение \(y\) меняется от 0 до \(\sqrt{18}\)).

Теперь мы можем использовать формулу объема цилиндрического кольца:

\[V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \,dx\]

где \(f(x)\) - функция, задающая кривую вращения, \(a\) и \(b\) - границы интегрирования.

В нашем случае \(f(x) = \sqrt{6x}\), а границы интегрирования \(a = 0\) и \(b = 3\).

Теперь вычислим интеграл:

\[V = \pi \int_{0}^{3} (\sqrt{6x})^2 \,dx\]

\[V = \pi \int_{0}^{3} 6x \,dx\]

\[V = \pi \left[\frac{3}{2}x^2\right]_{0}^{3}\]

\[V = \pi \left(\frac{3}{2}(3)^2 - \frac{3}{2}(0)^2\right)\]

\[V = \pi \left(\frac{27}{2}\right)\]

Таким образом, объем тела вращения вокруг оси x равен \(\frac{27}{2} \pi\) кубических единиц.