Question

18 баллов. Решите уравнение: X^-4 - 3x^-2 -4 = 0. Если кто не может понять - объясняю: X в минус четвертой степени минус 3X в минус второй степени минус 4 равно нулю. Надо решить уравнение, жду с полным решением! Спасибо.

Answer 1

$x^{-4}-3 x^{-2} -4=0\\\\t=x^{-2}\; \; \to \; \; x^{-4}=(x^{-2})^2=t^2\\\\t^2-3t-4=0\\\\teorema\; Vieta;\; t_1=-1,\; t_2=4\\\\a)\; \; x^{-2}=-1\; ,\; \frac{1}{x^2}=-1\; \to \; \; x^2=-1\; net\; reshenij,\; t.k.\; x^2\ \textgreater \ 0(!)\\\\b)x^{-2}=4\; ,\; \frac{1}{x^{2}}=4\; \to \; x^2=\frac{1}{4}\\\\x_1=-\frac{1}{2}\; ,\; \; x_2=\frac{1}{2}\\\\oo$

Answer 2

Уравнение: $x^{-4} - 3x^{-2} - 4 = 0$

Для решения данного уравнения, мы можем ввести замену $y = x^{-2}$, тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или факторизации.

Решение с помощью формулы дискриминанта:

Для квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$, формула дискриминанта выглядит следующим образом:

$D = b^2 - 4ac$

Если дискриминант $D > 0$, то уравнение имеет два различных корня. Если $D = 0$, то уравнение имеет один корень. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, $a = 1$, $b = -3$, и $c = -4$. Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, у нас есть два различных корня.

Нахождение корней:

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, мы получаем:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения:

$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Теперь, найдем значения $x$ с помощью обратной замены:

$y = x^{-2}$

Для $y_1 = 4$:

$x^{-2} = 4$

Возведем обе части уравнения в $-1/2$ степень:

$(x^{-2})^{-1/2} = 4^{-1/2}$

$x = \pm \sqrt{2}$

Для $y_2 = -1$:

$x^{-2} = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат не может быть отрицательным.

Ответ:

Уравнение $x^{-4} - 3x^{-2} - 4 = 0$ имеет два действительных корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.