Question

Помогите пожалуйста cos^2 x +sin^2 x + 2sinxcosx=cos2x

Answer 1

$cos^2x+sin^2x+2sinx*cosx=cos^2x-sin^2x$
$2sin^2x+2sinx*cosx=0$
$2sinx(sinx+cosx)=0$
$sinx=0,x= \pi k$
$sinx=-cosx, tgx=-1$
$x=- \frac{ \pi }{4} + \pi k$

Answer 2

Данное уравнение является тригонометрическим тождеством, известным как тождество Пифагора для тригонометрических функций. Давайте разберем его подробно.

Тождество Пифагора для тригонометрических функций утверждает, что для любого угла x справедливо равенство:

cos^2(x) + sin^2(x) = 1.

Теперь давайте рассмотрим выражение, которое дано в вашем вопросе:

cos^2(x) + sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) = cos(2x).

Мы можем преобразовать это выражение, используя тождество Пифагора. Заметим, что в левой части у нас есть сумма cos^2(x) и sin^2(x), которую мы можем заменить на 1:

1 + 2sin(x)cos(x) = cos(2x).

Чтобы продолжить, нам пригодится формула двойного угла для косинуса:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Мы можем заменить cos^2(x) - sin^2(x) в выражении, используя эту формулу:

1 + 2sin(x)cos(x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Теперь мы можем преобразовать это выражение, используя свойства тригонометрических функций. Заметим, что sin^2(x) можно заменить на (1 - cos^2(x)), используя тождество Пифагора:

1 + 2sin(x)cos(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)).

Продолжим преобразование:

1 + 2sin(x)cos(x) = cos^2(x) - 1 + cos^2(x).

Сокращаем подобные члены:

1 + 2sin(x)cos(x) = 2cos^2(x) - 1.

Теперь у нас есть равенство между двумя выражениями. Чтобы проверить его, мы можем преобразовать оба выражения и увидеть, совпадают ли они. Давайте преобразуем правую часть выражения:

2cos^2(x) - 1 = 2(cos^2(x) - 1/2).

Используя формулу двойного угла для косинуса (cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2), мы можем заменить cos^2(x) в выражении:

2(cos^2(x) - 1/2) = 2((1 + cos(2x))/2 - 1/2) = 2(cos(2x)/2) = cos(2x).

Таким образом, мы видим, что левая и правая части равенства совпадают. Это значит, что исходное уравнение cos^2(x) + sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) = cos(2x) является верным.

Надеюсь, это помогло вам разобраться в данном тождестве и его производных преобразованиях. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!