Question

Докажите что значение многочлена n^3+3n^2+5n+3 при любом целом n делится на 3

Answer 1

N³ + 3n² + 5n + 3 = (n + 1)(n² + 2n + 3) = n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)

произведение 3(n + 1) кратно 3
произведение n(n + 1)(n + 2) является произведением трех последовательных целых чисел, из которых одно делится на 3
при любом n. Значит все произведение кратно 3.

Таким образом, мы имеем сумму двух выражений, кратных 3, следовательно, вся сумма будет кратна 3, а значит, исходное выражение делится на 3 при любом целом n.

Answer 2

Для доказательства того, что значение многочлена \(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\) при любом целом \(n\) делится на 3, мы можем воспользоваться методом математической индукции или алгебраического преобразования.

Доказательство методом математической индукции:

1. База индукции: Для \(n = 1\) мы имеем: \[1^3 + 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + 3 = 1 + 3 + 5 + 3 = 12,\] что делится на 3 без остатка.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого целого числа \(k\) выполнено, что \(k^3 + 3k^2 + 5k + 3\) делится на 3.

3. Шаг индукции: Докажем, что если это верно для \(k\), то оно верно и для \(k + 1\): \[(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1) + 3\] \[= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3(k^2 + 2k + 1) + 5k + 5 + 3\] \[= (k^3 + 3k^2 + 5k + 3) + 3k + 9\] Поскольку по предположению индукции \(k^3 + 3k^2 + 5k + 3\) делится на 3, а \(3k + 9\) также делится на 3, то их сумма также делится на 3.

Таким образом, по принципу математической индукции можно утверждать, что значение многочлена \(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\) при любом целом \(n\) делится на 3.

Доказательство алгебраическим способом:

Рассмотрим многочлен \(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\) и покажем, что он делится на 3 при любом целом \(n\).

Выполним деление \(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\) на 3 по модулю:

\((n^3 + 3n^2 + 5n + 3) \mod 3\)

Мы заметим, что \(n^3\) делится на 3 для любого целого \(n\) (по свойству целочисленного деления). Рассмотрим остальные члены:

\((3n^2 + 5n + 3) \mod 3\)

\((n^2 - n + 3) \mod 3\)

Теперь проверим это выражение для всех возможных значений \(n\) по модулю 3:

- При \(n = 0: (0^2 - 0 + 3) \mod 3 = 3 \mod 3 = 0\) - При \(n = 1: (1^2 - 1 + 3) \mod 3 = 3 \mod 3 = 0\) - При \(n = 2: (2^2 - 2 + 3) \mod 3 = 3 \mod 3 = 0\)

Таким образом, при всех значениях \(n\) остаток от деления \(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\) на 3 равен 0, что означает, что он делится на 3.

Таким образом, мы показали, что значение многочлена \(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\) при любом целом \(n\) действительно делится на 3.