Question

4 sin a + 3 cos a найти наименьшее значение помогите пожалуйсто

Answer 1

Есть формула: asinx+bcosx=под корнем a квадрат плюс b квадрат:
4^2+3^2=16+9=25, и 25 под корнем это 5

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения \(4\sin a + 3\cos a\), мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами синуса и косинуса. Заметим, что данное выражение представляет собой линейную комбинацию синуса и косинуса. Давайте представим его в виде суммы двух тригонометрических функций:

\[4\sin a + 3\cos a = \sqrt{4^2 + 3^2}\left(\frac{4}{5}\sin a + \frac{3}{5}\cos a\right)\]

Таким образом, мы можем записать:

\[4\sin a + 3\cos a = 5\left(\frac{4}{5}\sin a + \frac{3}{5}\cos a\right)\]

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\), где \(\alpha\) и \(\beta\) - произвольные углы. Мы видим, что подобная форма совпадает с выражением \(\frac{4}{5}\sin a + \frac{3}{5}\cos a\). Поэтому мы можем представить данное выражение следующим образом:

\[4\sin a + 3\cos a = 5\sin(a + \phi)\]

где \(\phi\) - угол такой, что \(\sin \phi = \frac{4}{5}\) и \(\cos \phi = \frac{3}{5}\).

Теперь, чтобы найти наименьшее значение выражения \(4\sin a + 3\cos a\), нужно найти минимальное значение \(\sin(a + \phi)\). Минимальное значение синуса равно -1, поэтому:

\[5\sin(a + \phi) \geq -5\]

Следовательно, наименьшее значение выражения \(4\sin a + 3\cos a\) равно \(-5\) и достигается, когда \(\sin(a + \phi) = -1\), что соответствует \(a + \phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.