Question

Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо сума перших її 100 членів на 50 більша від суми ста наступних

Answer 1

Разница арифм.прогрессии равна -1/2

Answer 2

Задача відноситься до арифметичних прогресій.

Нехай перший член арифметичної прогресії дорівнює \( a_1 \), а різниця між сусідніми членами дорівнює \( d \). Тоді \( n \)-й член арифметичної прогресії можна обчислити за формулою:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Сума перших \( n \) членів арифметичної прогресії може бути знайдена за формулою:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

В даній задачі ми маємо дві суми: сума перших 100 членів та сума наступних 100 членів. Нехай \( S_{100} \) - сума перших 100 членів, а \( S_{200} \) - сума наступних 100 членів.

За умовою задачі маємо:

\[ S_{100} = S_{200} + 50 \]

Тепер знайдемо формули для обчислення \( S_{100} \) та \( S_{200} \).

Формула для суми перших \( n \) членів арифметичної прогресії \( S_n \):

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Отже, \( S_{100} \) (сума перших 100 членів) буде:

\[ S_{100} = \frac{100}{2} \cdot (a_1 + a_{100}) \]

А \( S_{200} \) (сума наступних 100 членів) буде:

\[ S_{200} = \frac{200}{2} \cdot (a_{101} + a_{200}) \]

Тепер врахуємо, що \( a_{100} = a_1 + 99 \cdot d \) та \( a_{101} = a_1 + 100 \cdot d \).

Підставимо ці значення у рівняння \( S_{100} = S_{200} + 50 \):

\[ \frac{100}{2} \cdot (a_1 + a_{100}) = \frac{200}{2} \cdot (a_{101} + a_{200}) + 50 \]

Після підстановок отримаємо:

\[ 50 \cdot (a_1 + (a_1 + 99 \cdot d)) = 100 \cdot (a_1 + 100 \cdot d + a_1 + 199 \cdot d) + 50 \]

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

\[ 50 \cdot (2a_1 + 99 \cdot d) = 100 \cdot (2a_1 + 299 \cdot d) + 50 \]

\[ 100a_1 + 4950d = 200a_1 + 59800d + 50 \]

\[ 100a_1 - 200a_1 = 59800d - 4950d + 50 \]

\[ -100a_1 = 54850d + 50 \]

\[ -100a_1 - 50 = 54850d \]

\[ -100(a_1 + \frac{1}{2}) = 54850d \]

\[ a_1 + \frac{1}{2} = -\frac{54850d}{100} \]

\[ a_1 + \frac{1}{2} = -548.5d \]

\[ a_1 = -\frac{1097d + 1}{2} \]

Таким чином, ми отримали вираз для першого члена прогресії через різницю \( d \).

Це дозволить нам знайти різницю арифметичної прогресії, якщо ми матимемо конкретне значення першого члена прогресії або якщо матимемо іншу інформацію про прогресію. Без додаткової інформації ми не можемо знайти конкретне значення різниці \( d \).