Question

2cos^2x - 5 cos(-3/2p-x)+1=0

Answer 1

$2cos^2(x)-5cos(- \frac{3 \pi }{2} -x)+1=0 \\ \\ 2cos^2(x)-5cos( \frac{3 \pi }{2} +x)+1=0 \\ \\ 2cos^2(x)-5sin(x)+1=0 \\ \\ 2(1-sin^2(x))-5sin(x)+1=0 \\ \\ 2-2sin^2(x)-5sin(x)+1=0 \\ \\ 2sin^2(x)+5sin(x)-3=0$

Выполним замену sin(x) = t ; t ∈ [-1;1] 

$2t^2+5t-3=0 ; D=5^2-4(2*(-3))=49; \sqrt{D} =7 ; t = \frac{-5(+/-)7}{2*2}$

t = 1/2 ; -3
t = -3 ∉ [-1;1] ⇒ t = 1/2 

Выполним обратную замену 

$sin(x) = \frac{1}{2} \\ \\ \left \{ {{x=arcsin(\frac{1}{2})+2 \pi k} \atop {x= \pi -arcsin(\frac{1}{2})+2 \pi m}} \right. \\ \\ \left \{ {{x= \frac{ \pi }{6}+2 \pi k } \atop {x= \frac{5 \pi }{6}+2 \pi m }} \right. \\ \\ or \\ \\ x= (-1)^{l} * \frac{ \pi }{6} + \pi l$

, где k,m,l ∈ Z

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более простому виду и затем найдем значения переменной x, при которых уравнение выполняется.

Итак, дано уравнение: 2cos^2x - 5cos(-3/2π - x) + 1 = 0

Первым шагом заметим, что cos(-3/2π - x) можно переписать с использованием тригонометрической формулы: cos(-3/2π - x) = cos(3/2π + x)

Теперь подставим это обратно в уравнение и упростим его: 2cos^2x - 5cos(3/2π + x) + 1 = 0

Теперь применим формулу двойного угла cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ: 2cos^2x - 5(cos(3/2π)cosx - sin(3/2π)sinx) + 1 = 0

Упростим: 2cos^2x + 5sinx + 1 = 0

Заметим, что у нас есть квадратная форма с переменной cosx. Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение с переменной t = cosx: 2t^2 + 5t + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения t: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Для данного уравнения a = 2, b = 5 и c = 1. Подставим эти значения в формулу: t = (-5 ± √(5^2 - 4 * 2 * 1)) / (2 * 2)

Вычислим это: t = (-5 ± √(25 - 8)) / 4 t = (-5 ± √17) / 4

Таким образом, у нас два значения t: t1 = (-5 + √17) / 4 t2 = (-5 - √17) / 4

Теперь найдем соответствующие значения для cosx, подставив значения t обратно в t = cosx: cosx1 = (-5 + √17) / 4 cosx2 = (-5 - √17) / 4

Итак, решение исходного уравнения состоит из двух значений для x: x1 = arccos((-5 + √17) / 4) x2 = arccos((-5 - √17) / 4)

Обратите внимание: Важно отметить, что решение зависит от выбранного диапазона значений для x. Если рассматривается диапазон от 0 до 2π, то могут быть и другие значения x, для которых уравнение выполняется. Поэтому, чтобы получить полное решение, нужно рассмотреть возможные значения x в заданном диапазоне.