Question

Найти производную:f(x)= 1/ 1+x^2

Answer 1

$f(x) = \frac{1}{1 + x^2} = (1 + x^2)^{-1}$
$f'(x) = -1(1 + x^2)^{-1-1}2x = -2x(1+ x^2)^{-2} = - \frac{2x}{(1 + x^2)^2}$

Answer 2

Конечно, давайте найдем производную функции \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \).

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного и цепного правила:

1. Правило дифференцирования частного: Если у нас есть функции \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная их частного равна \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}. \]

2. Цепное правило: Если у нас есть композиция функций, например, \( g(f(x)) \), то производная этой композиции равна \[ (g \circ f)' = g'(f) \cdot f'. \]

Теперь применим эти правила к функции \( f(x) \):

\[ f(x) = \frac{1}{1+x^2} = (1+x^2)^{-1}. \]

Применим цепное правило:

\[ f'(x) = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot 2x. \]

Упростим это выражение:

\[ f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}. \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) равна \( -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \).