Question

Помогите найти интервалы моноторности и точки экстремума функции: y=(e^-3x)/(9(1-3x)) (нужен только ответ)

Answer 1

Y`=(-3*e^-3x*(9-27x)+27*e^-3x)/(9-27x)²=3e^-3x*(-9+81x+1)/(9-27x)²=0
81x=8
x=8/81
                 _                      +
-------------------------(8/81)------------------
убыв                    min        возр

Answer 2

Поиск интервалов монотонности и точек экстремума функции

Для функции y = (e^-3x)/(9(1-3x)), нам нужно найти интервалы монотонности и точки экстремума.

Интервалы монотонности:

Чтобы найти интервалы монотонности функции, мы должны проанализировать производную функции и найти ее нули.

1. Найдем производную функции y по x: ``` y' = (e^-3x)'/(9(1-3x)) + (e^-3x)/(9(1-3x))' = (-3e^-3x)/(9(1-3x)) + (e^-3x)(9)/(9(1-3x))^2 = (-3e^-3x)/(9(1-3x)) + (e^-3x)/(1-3x)^2 ```

2. Упростим производную: ``` y' = (-3e^-3x + (e^-3x)/(1-3x)^2)/(9(1-3x)) = (e^-3x(-3(1-3x) + 1))/(9(1-3x)^2) = (e^-3x(-3 + 9x + 1))/(9(1-3x)^2) = (e^-3x(9x - 2))/(9(1-3x)^2) ```

3. Найдем нули производной: ``` (e^-3x(9x - 2))/(9(1-3x)^2) = 0 ```

Здесь мы видим, что производная будет равна нулю, когда e^-3x = 0 или (9x - 2) = 0.

- Для e^-3x = 0 нет решений, так как экспонента никогда не равна нулю. - Для (9x - 2) = 0, мы находим x = 2/9.

4. Теперь мы можем определить интервалы монотонности функции:

- Когда x < 2/9, производная положительна, следовательно, функция возрастает. - Когда x > 2/9, производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Точки экстремума:

Чтобы найти точки экстремума функции, мы должны проанализировать вторую производную функции и найти ее нули.

1. Найдем вторую производную функции y по x: ``` y'' = (e^-3x(9x - 2))'/(9(1-3x)^2) = ((-3e^-3x)(9x - 2) + e^-3x(9))/(9(1-3x)^2) = (-27xe^-3x + 6e^-3x + 9e^-3x)/(9(1-3x)^2) = (-27xe^-3x + 15e^-3x)/(9(1-3x)^2) = (-3xe^-3x + 5e^-3x)/(1-3x)^2 ```

2. Найдем нули второй производной: ``` (-3xe^-3x + 5e^-3x)/(1-3x)^2 = 0 ```

Здесь мы видим, что вторая производная будет равна нулю, когда (-3xe^-3x + 5e^-3x) = 0.

- Для e^-3x = 0 нет решений, так как экспонента никогда не равна нулю. - Для (-3x + 5) = 0, мы находим x = 5/3.

3. Теперь мы можем определить точки экстремума функции:

- Когда x = 5/3, функция имеет локальный минимум или максимум.

Ответ:

Интервалы монотонности функции y = (e^-3x)/(9(1-3x)):

- Функция возрастает при x < 2/9. - Функция убывает при x > 2/9.

Точки экстремума функции y = (e^-3x)/(9(1-3x)):

- Функция имеет точку экстремума при x = 5/3.

Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что информация, предоставленная выше, основана на предоставленной функции и ее производных.