Question

Помогите решить систему уравнений:3*x*y - x^2 - y^2 = 57*x^2*y^2 - x^4 - y^4 = 155Должны получится ответы (2;3), (3,2), (-3,-2), (-2,-3)Сразу говорю, что дополнять до полного квадрата нет смысла, в итоге получится отрицательный дискриминант. Я не прошу подробного решения. Я прошу подсказать его способ, подтолкнуть в правильном направлении.

Answer 1

Нужно заметить то что выражение $7x^2y^2-x^4-y^4$ как то разложить на множители, так как очевидно что это система не будет решаться не рациональным способ, я имею ввиду что подстановкой х через у 
$7x^2y^2-x^4-y^4$ можно конечно как то преобразовывать это выражение
$7x^2y^2-x^4-y^4\\ x^4+y^4-7x^2y^2\\ x^4+y^4+2x^2y^2-9x^2y^2\\ (x^2+y^2)^2-9x^2y^2\\ (x^2+y^2)^2-(3xy)^2=(x^2+y^2-3xy)(x^2+y^2+3xy)$
то есть видим что  один из сомножителей похож на первое уравнение         системы
$-(x^2-3xy+y^2)(x^2+3xy+y^2)=155\\ (3xy-x^2-y^2)(x^2+3xy+y^2)=155\\ 3xy-x^2-y^2=5\\ 5(x^2+3xy+y^2)=155\\ x^2+3xy+y^2=31\\ \\ \left \{ {{3xy-x^2-y^2=5} \atop {x^2+3xy+y^2=31}} \right. \\ \\ x^2+y^2+5+x^2+y^2=31\\ x^2+y^2=13$

Дальше решить не сложно 

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки. Подставим одно из уравнений в другое:

57*x^2*y^2 - x^4 - y^4 = 155

Подставим x^2 + y^2 вместо 3*x*y в первое уравнение:

3*(x^2 + y^2) - x^2 - y^2 = 57*(x^2 + y^2)^2 - x^4 - y^4

Упростим это уравнение:

2*x^2 + 2*y^2 - 57*(x^2 + y^2)^2 = 0

Теперь заметим, что данное уравнение является квадратным относительно (x^2 + y^2). Пусть z = x^2 + y^2, тогда уравнение можно переписать в виде:

2*z - 57*z^2 = 0

Факторизуем это уравнение:

z*(2 - 57*z) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения z:

z1 = 0 z2 = 2/57

Подставим эти значения обратно:

x^2 + y^2 = 0 x^2 + y^2 = 2/57

В первом случае получаем x = 0 и y = 0. Во втором случае можно найти значения x и y путем подстановки z2 = 2/57 в одно из уравнений и решения полученного квадратного уравнения.

Таким образом, решениями системы уравнений являются (0, 0) и решения, полученные из квадратного уравнения, найденные во втором случае.