Question

Помогите решить! cos2x+cos(x+pi/2)+1=0 решите и отберите корни в промежутке(2pi;7pi/2)

Answer 1

Решение на фото.......

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) + cos(x + π/2) + 1 = 0 в промежутке (2π; 7π/2), мы можем использовать свойства и тригонометрические тождества для упрощения выражения.

Давайте начнем с упрощения выражения cos(x + π/2).

Мы знаем, что cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β).

Таким образом, cos(x + π/2) = cos(x)cos(π/2) - sin(x)sin(π/2). Поскольку cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1, мы можем упростить это выражение до -sin(x).

Теперь уравнение становится cos(2x) - sin(x) + 1 = 0.

Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для дальнейшего упрощения выражения.

Мы знаем, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Подставляя это в уравнение, получим 1 - 2sin^2(x) - sin(x) + 1 = 0.

Упрощая это выражение, получим -2sin^2(x) - sin(x) + 2 = 0.

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно sin(x). Мы можем решить его, используя стандартные методы решения квадратных уравнений.

Получившееся квадратное уравнение -2sin^2(x) - sin(x) + 2 = 0 имеет вид as^2 + bs + c = 0, где a = -2, b = -1 и c = 2.

Мы можем использовать квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(-2)(2) = 1 + 16 = 17.

Так как дискриминант D > 0, у нас есть два корня для этого уравнения.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения имеет вид:

x = (-b ± sqrt(D)) / (2a).

Подставляя значения a, b и D, получим:

x = (-(-1) ± sqrt(17)) / (2(-2)).

Упрощая это выражение, получим:

x = (1 ± sqrt(17)) / -4.

Теперь нам нужно отобрать только те корни, которые находятся в заданном промежутке (2π; 7π/2).

Подставляя значения в это выражение, мы получаем:

x1 = (1 + sqrt(17)) / -4 ≈ -1.315. x2 = (1 - sqrt(17)) / -4 ≈ 0.315.

Теперь мы можем проверить, находятся ли эти значения в заданном промежутке (2π; 7π/2).

Для этого мы можем просто проверить, что x1 > 2π и x2 < 7π/2.

Подставив значения, мы получаем: x1 ≈ -1.315 < 2π (верно) x2 ≈ 0.315 < 7π/2 (верно)

Таким образом, корни уравнения cos(2x) + cos(x + π/2) + 1 = 0 в промежутке (2π; 7π/2) равны x1 ≈ -1.315 и x2 ≈ 0.315.