Question

Решить тригонометрическое уравнение: 2cos^2x-7sinx-5=0

Answer 1

Cos²x=1-sin²x
2-2sin²x-7sinx-5=0
2sin²x+7sinx+3=0
D=49-24=25   √D=5
sinx=1/4[-7-5]=-3 не подходит |sinx|≤1
sinx=1/4[-7+5]=-1/2
sin(-x)=1/2    -x=(-1)ⁿπ/6+πk  x=(-1)ⁿ⁺¹π/6-πk    k∈Z

Answer 2

Чтобы решить данное тригонометрическое уравнение, мы можем использовать замену, чтобы свести его к квадратному уравнению. Давайте начнем.

Шаг 1: Введем замену, пусть `u = sin(x)`. Тогда мы можем заменить `sin(x)` в исходном уравнении на `u`.

Уравнение примет вид: `2cos^2(x) - 7sin(x) - 5 = 0` Заменяем `sin(x)` на `u`: `2cos^2(x) - 7u - 5 = 0`

Шаг 2: Используем тригонометрическую тождественность `cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` для замены `cos^2(x)` в уравнении.

Уравнение примет вид: `2(1 - sin^2(x)) - 7u - 5 = 0` Раскрываем скобки: `2 - 2sin^2(x) - 7u - 5 = 0` Упрощаем: `-2sin^2(x) - 7u - 3 = 0`

Шаг 3: Заменим `sin^2(x)` на `(1 - cos^2(x))` с использованием тригонометрической тождественности.

Уравнение примет вид: `-2(1 - cos^2(x)) - 7u - 3 = 0` Раскрываем скобки: `-2 + 2cos^2(x) - 7u - 3 = 0` Упрощаем: `2cos^2(x) - 7u - 5 = 0`

Шаг 4: Теперь мы видим, что получилось исходное уравнение после замены переменной `u`. Мы можем заменить `cos^2(x)` на `(1 - sin^2(x))` и решить полученное квадратное уравнение относительно `sin(x)`.

Уравнение примет вид: `2(1 - sin^2(x)) - 7u - 5 = 0` Раскрываем скобки: `2 - 2sin^2(x) - 7u - 5 = 0` Упрощаем: `-2sin^2(x) - 7u - 3 = 0`

Шаг 5: Подставим `u = sin(x)` обратно в уравнение.

Уравнение примет вид: `-2sin^2(x) - 7sin(x) - 3 = 0`

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно `sin(x)`. Мы можем решить его с использованием стандартных методов решения квадратных уравнений, например, с помощью формулы дискриминанта или метода завершения квадрата.

Если вы можете предоставить дополнительную информацию о вашем вопросе, я могу помочь вам с более конкретным решением.