Question

(а+b)(b+c)(c+a)≥8abc, (a>0,b>0,c>0)

Answer 1

 Смотри решение во вложении

Answer 2

Данное неравенство, (а+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc, является неравенством между выражением (а+b)(b+c)(c+a) и 8abc, при условии a>0, b>0 и c>0.

Для начала, давайте рассмотрим правую часть неравенства, 8abc. Здесь a, b и c - положительные числа, поэтому их произведение будет положительным числом. Таким образом, правая часть неравенства положительна.

Теперь рассмотрим левую часть неравенства, (а+b)(b+c)(c+a).

Чтобы понять, как это выражение связано с правой частью неравенства, можно разложить его на множители и проанализировать каждый из них.

(а+b)(b+c)(c+a) можно раскрыть, используя формулу разности квадратов и распределительный закон:

(а+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2c + b^2c + ac^2 + ab^2 + bc^2 + abc + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc = 3abc + a^2c + b^2c + ac^2 + ab^2 + bc^2

Теперь, когда у нас есть раскрытое выражение, давайте вернемся к неравенству и сравним его с правой частью.

3abc + a^2c + b^2c + ac^2 + ab^2 + bc^2 ≥ 8abc

Сокращая abc с обеих сторон, получим:

3 + a^2/c + b^2/c + ac/b + ab/c + bc/a ≥ 8

Теперь, учитывая условие a>0, b>0 и c>0, каждый из членов слева будет положительным. Таким образом, неравенство будет выполняться, если левая часть больше или равна 8.

Из этого можно сделать вывод, что (а+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc для положительных чисел a, b и c.