Question

1. 2cos2x=7cosx2. cos^4x-sin^4x=sqrt(3)/23. sin^2x-sqrt(3)/2*sin2x=cos^2x

Answer 1

1)2(2cos²x-1)-7cosx=0
4cos²x-7cosx-2=0
a=cosx  4a²-7a-2=0 D=49+32=81 √D=9
a1=(7-9)/8=-1/4    cosx=-1/4    x=π+ -arccos1/4+2πn
a2=(7+9)/8=2∉[-1;1]-нет решения
2)(cos²x-sin²x)(cos²x+sin²x)=√3/2
cos2x=√3/2
2x=+ - π/6+2πn⇒x=+ - π/12+πn
3)cos²x-sin²x+√3/2sin2x=0
cos2x-√3/2sin2x=0  /cos2x≠0
1-√3/2tg2x=0
tg2x=2/√3=2√3/3
2x=arctg2√3/3+πn
x=1/2arctg2√3/3+πn/2

Answer 2

Давайте решим поставленную систему уравнений поочередно.

1. Уравнение: 2cos(2x) = 7cos(x^2)

Для начала, заметим, что угол в косинусе может быть только от 0 до 180 градусов (или от 0 до π радиан). Поэтому мы можем использовать это ограничение при решении уравнения.

Уравнение 2cos(2x) = 7cos(x^2) можно переписать в виде:

2cos^2(x) - 2sin^2(x) = 7cos(x^2)

Применяя формулу двойного угла для косинуса, получим:

2(1 - sin^2(x)) - 2sin^2(x) = 7cos(x^2)

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2(x) - 2sin^2(x) = 7cos(x^2)

Упростим:

2 - 4sin^2(x) = 7cos(x^2)

Теперь, заменим cos(x^2) на 1 - sin^2(x) (используя формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1):

2 - 4sin^2(x) = 7(1 - sin^2(x))

Раскроем скобки:

2 - 4sin^2(x) = 7 - 7sin^2(x)

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

-3sin^2(x) = 5

Делим обе части на -3:

sin^2(x) = -5/3

Так как квадрат синуса не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений.

2. Уравнение: cos^4(x) - sin^4(x) = sqrt(3)/2

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности квадратов:

(cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x)) = sqrt(3)/2

Так как cos^2(x) + sin^2(x) = 1, получаем:

1(cos^2(x) - sin^2(x)) = sqrt(3)/2

cos^2(x) - sin^2(x) = sqrt(3)/2

Дальше, заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x) (используя формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1):

1 - sin^2(x) - sin^2(x) = sqrt(3)/2

1 - 2sin^2(x) = sqrt(3)/2

Упростим:

2sin^2(x) = 1 - sqrt(3)/2

Делим обе части на 2:

sin^2(x) = (1 - sqrt(3)/2) / 2

sin^2(x) = (2 - sqrt(3)) / 4

Теперь найдем значение синуса:

sin(x) = sqrt((2 - sqrt(3)) / 4)

Таким образом, мы нашли значение синуса x.

3. Уравнение: sin^2(x) - sqrt(3)/2*sin(2x) = cos^2(x)

Упростим это уравнение. Заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x) (используя формулу для двойного угла синуса):

sin^2(x) - sqrt(3)/2 * 2sin(x)cos(x) = cos^2(x)

sin^2(x) - sqrt(3)sin(x)cos(x) = cos^2(x)

Теперь заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x) (используя формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1):

1 - cos^2(x) - sqrt(3)sin(x)cos(x) = cos^2(x)

1 - 2cos^2(x) - sqrt(3)sin(x)cos(x) = 0

2cos^2(x) + sqrt(3)sin(x)cos(x) - 1 = 0

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно cos(x). Решение этого уравнения может быть сложным и может потребовать применения численных методов или графического анализа. Чтобы найти решение численно, можно воспользоваться методами численного решения уравнений, такими как метод Ньютона или метод половинного деления.

Надеюсь, эти пояснения помогут вам понять, как решить поставленную систему уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!