Question

Решите уравнение cosx+sinx=cos^2x+sin^x

Answer 1

Cosx+sinx=1
sin(π/2-x)+sinx=1
2sinπ/4cos(π/4-x)=1
2*√2/2cos(π/4-x)=1
cos(π/4-x)=1/√2
cos(π/4-x)=sin(x-π/4)
sin(x-π/4)=1/√2
x-π/4=(-1)^n*π/4+πn
x=π/4+(-1)^n*π/4+πn

Answer 2

По основному тригонометрическому тождеству: cos^2 x+ sin^2 x=1
Тогда cos x + sin x = 1
C помощью формул универсальной тригонометрической подстановки: 
$sin x = \frac{2 tg \frac{x}{2} }{1+tg^{2} \frac{x}{2} } \\ cos x = \frac{1- tg ^{2} \frac{x}{2} }{1+tg^{2} \frac{x}{2} }$
ОДЗ: $cos \frac{x}{2} \neq 0,x \neq 2 \pi n$
Подставим, приведем к общему знаменателю, избавимся от него, получим:

$2 tg \frac{x}{2} +1-tg ^{2} \frac{x}{2} =1+tg ^{2} \frac{x}{2} \\ 2 tg \frac{x}{2}-2tg ^{2} \frac{x}{2}=0 \\ tg \frac{x}{2}-tg ^{2} \frac{x}{2}=0 \\ tg \frac{x}{2}(1-tg \frac{x}{2})=0$

$tg \frac{x}{2}=0, tg \frac{x}{2}=1 \\ \left \{ {{ \frac{x}{2} = \pi n} \atop { \frac{x}{2} = \frac{ \pi }{4}+ \pi k }} \right. \\ \left \{ {{x=2 \pi n} \atop {x=\frac{ \pi }{2}+ \pi k }} \right.$

Answer 3

Для решения данного уравнения нам необходимо найти значения переменной x, при которых уравнение выполняется. Давайте посмотрим на каждую часть уравнения по отдельности и попытаемся упростить его.

Уравнение: cos(x) + sin(x) = cos^2(x) + sin^2(x)

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, так как это является тождеством тригонометрии. Подставим это значение в уравнение:

cos(x) + sin(x) = 1

Теперь давайте рассмотрим различные подходы для решения этого уравнения.

Метод 1: Графический метод Мы можем нарисовать графики функций y = cos(x) + sin(x) и y = 1 и найти точки их пересечения. Это позволит нам найти значения x, при которых уравнение выполняется.

Метод 2: Алгебраический метод Мы можем перенести все члены уравнения на одну сторону и попытаться упростить его:

cos(x) + sin(x) - cos^2(x) - sin^2(x) = 0

Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем заменить это значение:

cos(x) + sin(x) - 1 = 0

Теперь давайте попытаемся решить это уравнение. Мы можем использовать различные методы решения уравнений, такие как факторизация, замена переменной или применение формулы косинуса/синуса. В данном случае, я использовал бы замену переменной.

Пусть z = cos(x) + sin(x) - 1. Тогда уравнение примет вид:

z = 0

Теперь мы можем решить это уравнение для z. Если мы найдем значения z, то сможем найти значения x, используя обратную замену.

Однако, я замечаю, что данное уравнение не имеет аналитического решения. Это означает, что мы не можем найти точные значения x, при которых уравнение выполняется. Вместо этого, нам нужно будет использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона, чтобы найти приближенные значения x.

Если вы заинтересованы в численном решении этого уравнения, пожалуйста, дайте мне знать, и я могу предоставить вам примеры кода на языке программирования для решения этого уравнения численными методами.