Question

1. Определите знаки значений выражений sin a , cos a, tg a , ctg a , если a равно : 102 градуса,1501 градус. 2. Известно ,что sin a = -13/14 и pi 3. Упростите выражение : а.) (sin^2a+tg^2a+cos^2a)* cos^2a +tg a*ctg a; б.) sin( pi/2 + a)*( cos pi+a/2cos4pi/3 - ctg (a-pi/2) *sin(pi - a));

Answer 1

1) 102 градуса - это 2 четверть. sin a > 0, cos a < 0, tg a < 0, ctg a < 0
1501 градус = 360*4 + 61 - 1 четверть. sin a, cos a, tg a, ctg a > 0

2) sin a = -13/14, a ∈ 3 четверти. cos a < 0
cos a = -√(1 - 169/196) = -√(27/196) = -3√3/14
tg a = sin a / cos a = (-13/14) : (-3√3/14) = 13/(3√3) = 13√3/9
a) (sin^2 a + tg^2 a + cos^2 a)*cos^2 a + tg a*ctg a =
= (1 + tg^2 a)*cos^2 a + 1 = 1/cos^2 a * cos^2 a + 1 = 1 + 1 = 2
b) $sin( \pi /2+a)*(cos( \pi +a/2)*cos(4 \pi /3) - ctg(a- \pi /2)*sin( \pi -a)) =$
$= cos a*(-cos(a/2)*(- \frac{1}{2} ) - (-tg a)*sin a) =$
$= \frac{1}{2} cos a*cos(a/2) + cos a*tg a*sin a =\frac{1}{2} cos a*cos(a/2) + sin^2a=$
$=\frac{1}{2} cos a* \sqrt{ \frac{1+cos a}{2} } + sin^2 a= \frac{1}{2}*(- \frac{3 \sqrt{3} }{14})* \sqrt{ \frac{14-3 \sqrt{3}}{28} } + \frac{169}{196}$
Как это сократить, чтобы получить нормальный ответ, я не знаю.
Думаю, что где-то ошибка. Или у меня, или в задании.

Answer 2

1. Определение знаков значений выражений sin a, cos a, tg a, ctg a, если a равно: 102 градуса, 1501 градус.

Для определения знаков значений выражений sin a, cos a, tg a, ctg a, нужно использовать основные свойства тригонометрических функций.

a) Первое значение a = 102 градуса: - sin a = sin 102° < 0, так как sin a отрицательный во второй и третьей четвертях. - cos a = cos 102° > 0, так как cos a положительный в первой и четвертой четвертях. - tg a = tg 102° < 0, так как tg a отрицательный во второй и четвертой четвертях. - ctg a = 1 / tg a = 1 / (tg 102°) > 0, так как ctg a положительный во второй и четвертой четвертях.

b) Второе значение a = 1501 градус: - sin a = sin 1501° < 0, так как sin a отрицательный во второй и третьей четвертях. - cos a = cos 1501° < 0, так как cos a отрицательный во второй и третьей четвертях. - tg a = tg 1501° > 0, так как tg a положительный в первой и третьей четвертях. - ctg a = 1 / tg a = 1 / (tg 1501°) < 0, так как ctg a отрицательный в первой и третьей четвертях.

2. Упрощение выражения: а) (sin^2a + tg^2a + cos^2a) * cos^2a + tg a * ctg a

Заметим, что sin^2a + cos^2a = 1 (это следует из основного тригонометрического тождества). Также, tg a * ctg a = 1 (это также следует из основного тригонометрического тождества).

Подставим эти значения в выражение: (1 + tg^2a) * cos^2a + 1

Заметим, что tg^2a + 1 = sec^2a (это следует из определения тангенса и секанса). Также, cos^2a = 1 - sin^2a (это следует из основного тригонометрического тождества).

Подставим эти значения в выражение: (sec^2a) * (1 - sin^2a) + 1 sec^2a - sec^2a * sin^2a + 1

б) sin(pi/2 + a) * (cos(pi + a/2) * cos(4pi/3) - ctg(a - pi/2) * sin(pi + a))

Раскроем все функции и упростим выражение: sin(pi/2 + a) = cos(a) cos(pi + a/2) = -sin(a/2) cos(4pi/3) = -1/2 ctg(a - pi/2) = -tan(a) sin(pi + a) = -sin(a)

Подставим эти значения в выражение: cos(a) * (-sin(a/2)) * (-1/2) - (-tan(a)) * (-sin(a)) (cos(a) * sin(a/2) * 1/2) - (tan(a) * sin(a))

Таким образом, упрощенное выражение будет: (cos(a) * sin(a/2) * 1/2) - (tan(a) * sin(a))