Question

Требуется изготовить закрытый ящик с квадратным дном, объём которого 8 дм^3. Каковы должны быть линейные размеры ящика, чтобы его полная поверхность была наименьшей?

Answer 1

Положим что сторона жна равна $a$  , другое его измерения равна $b$   
 $V=a^2b=8\\\\ S=2(a^2+2ab)=min\\\\ S=2a^2+4ab\\\\ S=2a^2+4*a*\frac{8}{a^2}=2a^2+\frac{32}{a}\\\\ S'=4a-\frac{32}{a^2}=0\\\\ 4a^3-32=0\\\\ 4a^3=32\\\\ a=2$ 
 при $a=2\\ S'(2)<0$ 
  Ответ  при измерениях $a=2; b=2$ то есть куб 
  
 

Answer 2

Для того чтобы найти линейные размеры ящика, при которых его полная поверхность будет наименьшей, воспользуемся методом математического анализа.

Обозначим стороны ящика через x, y и z. Так как у нас квадратное дно, то x = y.

Тогда объем ящика можно выразить через x и z: V = x^2 * z = 8 дм^3

Также нам известно, что полная поверхность ящика выражается через формулу: S = 2xy + 2xz + 2yz

Теперь можем выразить x и z через V: z = 8 / (x^2) xz = 4 / x yz = 4 / x

Подставим это в формулу для S: S = 2xy + 2xz + 2yz = 2x^2 + 8 / x

Для того чтобы найти минимальное значение S, найдем производную этой функции по x и приравняем ее к нулю: dS/dx = 4x - 8 / x^2 = 0

Решим это уравнение: 4x - 8 / x^2 = 0 4x^3 - 8 = 0 x^3 = 2 x = ∛2

Так как x = y, то y = ∛2.

Теперь найдем z: z = 8 / (x^2) = 8 / (∛2)^2 = 8 / 2 = 4

Итак, линейные размеры ящика должны быть x = y = ∛2, z = 4, чтобы его полная поверхность была наименьшей.