Question

Найти экстремумы функции: у=4х^3+6х^2

Answer 1

Y'=12x²+12x
12x²+12x=0
12x(x+1)=0
x1=0, x2= -1 экстремумы

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции у = 4х^3 + 6х^2, мы должны найти ее производную и найти значения x, при которых производная равна нулю.

Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции у = 4х^3 + 6х^2, мы применяем правило дифференцирования для каждого члена функции. В данном случае, производная будет равна:

у' = (4х^3)' + (6х^2)'

Чтобы найти производные каждого члена, мы применяем правило степенной функции и получаем:

у' = 12х^2 + 12х

Нахождение значений x, при которых производная равна нулю:

Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю, мы приравниваем у' к нулю и решаем уравнение:

12х^2 + 12х = 0

Факторизуя это уравнение, мы получаем:

12х(х + 1) = 0

Из этого уравнения мы видим, что одно из решений будет x = 0, а другое решение будет x = -1.

Определение типа экстремума:

Чтобы определить тип экстремума для каждого значения x, мы должны анализировать знак производной в окрестности каждой точки.

1. Для x = 0: Подставив x = 0 в производную у', мы получаем значение: у'(0) = 12 * 0^2 + 12 * 0 = 0 Значение производной равно нулю, что означает, что у нас может быть экстремум в точке x = 0.

2. Для x = -1: Подставив x = -1 в производную у', мы получаем значение: у'(-1) = 12 * (-1)^2 + 12 * (-1) = 12 - 12 = 0 Значение производной равно нулю, что означает, что у нас может быть экстремум в точке x = -1.

Определение типа экстремума:

Для определения типа экстремума, мы должны проанализировать знак производной в окрестности каждой точки.

1. Для x = 0: Если мы возьмем значения x, близкие к нулю, например, x = -0.1 и x = 0.1, и подставим их в производную у', мы получим: у'(-0.1) = 12 * (-0.1)^2 + 12 * (-0.1) = 1.2 - 1.2 = 0 у'(0.1) = 12 * (0.1)^2 + 12 * (0.1) = 1.2 + 1.2 = 2.4

Из этого следует, что функция убывает в окрестности x = 0 перед достижением экстремума. Это означает, что x = 0 является точкой локального минимума.

2. Для x = -1: Если мы возьмем значения x, близкие к -1, например, x = -1.1 и x = -0.9, и подставим их в производную у', мы получим: у'(-1.1) = 12 * (-1.1)^2 + 12 * (-1.1) = 14.52 - 13.2 = 1.32 у'(-0.9) = 12 * (-0.9)^2 + 12 * (-0.9) = 10.44 - 10.8 = -0.36

Из этого следует, что функция возрастает в окрестности x = -1 перед достижением экстремума. Это означает, что x = -1 является точкой локального максимума.

Вывод:

Функция у = 4х^3 + 6х^2 имеет два экстремума: - Локальный минимум в точке x = 0. - Локальный максимум в точке x = -1.