Question

Известно, что х^2 + y^2=10, х*у=4. Чему равно значение выражения х^4+y^4-x^2*y^2

Answer 1

Можно конечно через обычную подстановку в системе решить, но так быстрей и удобней

Answer 2

Для решения данной задачи нам даны два уравнения:

1. x^2 + y^2 = 10 2. x * y = 4

Мы должны найти значение выражения x^4 + y^4 - x^2 * y^2.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Решение системы уравнений

Сначала решим систему уравнений. Для этого воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения 2 мы можем выразить одну переменную через другую. Давайте выразим, например, x:

x * y = 4 x = 4 / y

Теперь мы можем подставить это выражение для x в уравнение 1:

(4 / y)^2 + y^2 = 10

Раскроем скобки и упростим:

16 / y^2 + y^2 = 10

Домножим обе части уравнения на y^2, чтобы избавиться от знаменателя:

16 + y^4 = 10 * y^2

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

y^4 - 10 * y^2 + 16 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной y. Решим его.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения вида ay^2 + by + c = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Если D > 0, уравнение имеет два различных корня. Если D = 0, уравнение имеет один корень. Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, a = 1, b = -10, c = 16. Вычислим дискриминант:

D = (-10)^2 - 4 * 1 * 16 D = 100 - 64 D = 36

D > 0, поэтому у нас будет два различных корня.

Используем формулу для нахождения корней:

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) y2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)

y1 = (-(-10) + sqrt(36)) / (2 * 1) y1 = (10 + 6) / 2 y1 = 16 / 2 y1 = 8

y2 = (-(-10) - sqrt(36)) / (2 * 1) y2 = (10 - 6) / 2 y2 = 4 / 2 y2 = 2

Таким образом, у нас есть два значения для y: y1 = 8 и y2 = 2.

Шаг 3: Нахождение соответствующих значений x

Теперь, когда у нас есть значения для y, мы можем найти соответствующие значения для x, используя уравнение 2:

x * y = 4

Для y1 = 8:

x * 8 = 4 x = 4 / 8 x = 0.5

Для y2 = 2:

x * 2 = 4 x = 4 / 2 x = 2

Таким образом, у нас есть два значения для x: x1 = 0.5 и x2 = 2.

Шаг 4: Вычисление выражения x^4 + y^4 - x^2 * y^2

Теперь мы можем подставить значения x и y в выражение x^4 + y^4 - x^2 * y^2:

Для x1 = 0.5 и y1 = 8:

x1^4 + y1^4 - x1^2 * y1^2 = (0.5)^4 + 8^4 - (0.5)^2 * 8^2 = 0.0625 + 4096 - 0.25 * 64 = 0.0625 + 4096 - 16 = 4079.0625

Для x2 = 2 и y2 = 2:

x2^4 + y2^4 - x2^2 * y2^2 = 2^4 + 2^4 - 2^2 * 2^2 = 16 + 16 - 4 * 4 = 16 + 16 - 16 = 16

Таким образом, значение выражения x^4 + y^4 - x^2 * y^2 для данных уравнений равно 4079.0625, если x = 0.5 и y = 8, и равно 16, если x = 2 и y = 2.