Question

Определить вид кривой второго порядка, построить её, найти вершины и фокусы.х^2+25y^2=25,y^2-24x=0,2x^2-5y^2=10

Answer 1

Найдём инвариант кривой $x^{2}+25y^{2}-25=0$

Delta=$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&25&0\\0&0&-25\end{array}\right] = 1*(25*(-25)-0)=-625\neq0$ => кривая невырожденная

$D= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&25\\\end{array}\right] = 1*25=25>0$

$I=1+25=26$

Delta* $I\neq0$ => кривая центральная

$D>0$ и Delta*I<0 => кривая - эллипс

 

 

Найдём инвариант кривой $y^{2}-24x=0$

Delta=$\left[\begin{array}{ccc}0&0&-12\\0&1&0\\-12&0&0\end{array}\right] = (-12)*(0-1(-12))=-144\neq0$ => кривая невырожденная

$D= \left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&1\\\end{array}\right] = 0$

$I=0+1=1$

$D=0$ => кривая - парабола

 

 

Найдём инвариант кривой $2x^{2}-5y^{2}-10=0$

Delta=$\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&-5&0\\0&0&-10\end{array}\right] = 2*((-5)*(-10)-0)=100\neq0$ => кривая невырожденная

$D= \left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&-5\\\end{array}\right] = 2*(-5)=-10<0$

$I=2+(-5)=-3$

Delta* $I\neq0$ => кривая центральная

$D>0$ => кривая - гипербола

Answer 2

Идентификация кривых второго порядка

Для определения вида кривой второго порядка, можно рассмотреть уравнение, описывающее эту кривую. В общем виде, уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Где A, B, C, D, E и F - коэффициенты, которые могут быть числами или нулями.

Уравнение: х^2 + 25y^2 = 25

Данное уравнение имеет вид x^2 + 25y^2 = 25. Сравнивая это уравнение с общим видом уравнения кривой второго порядка, видно, что A = 1, B = 0, C = 25, D = 0, E = 0 и F = -25.

Определение вида кривой

Учитывая коэффициенты A, B и C, можно определить вид кривой второго порядка. В данном случае, A > 0 и B = 0, поэтому это уравнение представляет собой эллипс.

Построение кривой

Для построения эллипса, необходимо знать его вершины и фокусы.

Нахождение вершин

Уравнение эллипса в общем виде имеет вид: (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1, где (h, k) - центр эллипса, а a и b - полуоси эллипса.

В данном случае, уравнение эллипса имеет вид: x^2/5^2 + y^2/1^2 = 1. Сравнивая это уравнение с общим видом уравнения эллипса, видно, что центр (h, k) = (0, 0), a = 5 и b = 1.

Таким образом, вершины эллипса будут находиться на оси x и оси y, соответственно. В данном случае, вершины будут равны (5, 0) и (-5, 0).

Нахождение фокусов

Фокусы эллипса могут быть найдены с использованием формулы фокусного расстояния: c^2 = a^2 - b^2, где c - фокусное расстояние.

В данном случае, a = 5 и b = 1. Подставив эти значения в формулу, получим c^2 = 5^2 - 1^2 = 24. Значит, c = sqrt(24) = 2*sqrt(6).

Фокусы эллипса будут расположены относительно центра на оси x. В данном случае, фокусы будут в точках (2*sqrt(6), 0) и (-2*sqrt(6), 0).

Уравнение: y^2 - 24x = 0

Данное уравнение имеет вид y^2 - 24x = 0. Сравнивая это уравнение с общим видом уравнения кривой второго порядка, видно, что A = 0, B = 0, C = 1, D = -24, E = 0 и F = 0.

Определение вида кривой

Учитывая коэффициенты A, B и C, можно определить вид кривой второго порядка. В данном случае, A = 0, B = 0 и C > 0, поэтому это уравнение представляет собой параболу.

Построение кривой

Для построения параболы, необходимо знать ее вершину и ось симметрии.

Нахождение вершины

Уравнение параболы в общем виде имеет вид: y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - вершина параболы.

В данном случае, уравнение параболы имеет вид: y^2 = 24x. Сравнивая это уравнение с общим видом уравнения параболы, видно, что вершина (h, k) = (0, 0).

Таким образом, вершина параболы будет в точке (0, 0).

Нахождение оси симметрии

В данном случае, ось симметрии будет параллельна оси y, так как уравнение параболы не содержит членов с x. Таким образом, ось симметрии будет иметь уравнение x = 0.

Уравнение: 2x^2 - 5y^2 = 10

Данное уравнение имеет вид 2x^2 - 5y^2 = 10. Сравнивая это уравнение с общим видом уравнения кривой второго порядка, видно, что A = 2, B = 0, C = -5, D = 0, E = 0 и F = -10.

Определение вида кривой

Учитывая коэффициенты A, B и C, можно определить вид кривой второго порядка. В данном случае, A > 0, C < 0 и B = 0, поэтому это уравнение представляет собой гиперболу.

Построение кривой

Для построения гиперболы, необходимо знать ее вершины, фокусы и асимптоты.

Нахождение вершин

Уравнение гиперболы в общем виде имеет вид: (x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1, где (h, k) - центр гиперболы, а a и b - полуоси гиперболы.

В данном случае, уравнение гиперболы имеет вид: 2x^2/5^2 - y^2/√2^2 = 1. Сравнивая это уравнение с общим видом уравнения гиперболы, видно, что центр (h, k) = (0, 0), a = 5 и b = √2.

Таким образом, вершины гиперболы будут находиться на оси x и оси y, соответственно. В данном случае, вершины будут равны (5, 0), (-5, 0), (0, √2) и (0, -√2).

Нахождение фокусов

Фокусы гиперболы могут быть найдены с использованием формулы фокусного расстояния: c^2 = a^2 + b^2, где c - фокусное расстояние.

В данном случае, a = 5 и b = √2. Подставив эти значения в формулу, получим c^2 = 5^2 + (√2)^2 = 27. Значит, c = sqrt(27) = 3*sqrt(3).

Фокусы гиперболы будут расположены относительно центра на оси x. В данном случае, фокусы будут в точках (3