Question

1) sin^2a-cos^2a+1/sin^2a=2 2) sin^4a-cos^4a=sin^2a-cos^2a

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди.

1) Уравнение: sin^2(a) - cos^2(a) + 1/sin^2(a) = 2

Для начала, заметим, что sin^2(a) - cos^2(a) может быть переписано с использованием тригонометрической формулы:

sin^2(a) - cos^2(a) = sin^2(a) - (1 - sin^2(a)) = 2sin^2(a) - 1

Теперь, уравнение принимает следующий вид:

2sin^2(a) - 1 + 1/sin^2(a) = 2

Умножим обе части уравнения на sin^2(a), чтобы избавиться от дроби:

(2sin^2(a))^2 - sin^2(a) + 1 = 2sin^2(a)

4sin^4(a) - sin^2(a) + 1 = 2sin^2(a)

Теперь, объединим все члены уравнения:

4sin^4(a) - 3sin^2(a) + 1 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно sin^2(a). Давайте заменим sin^2(a) на x:

4x^2 - 3x + 1 = 0

Теперь, решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или разложение на множители. В данном случае, используем разложение на множители:

(2x - 1)(2x - 1) = 0

Таким образом, получаем:

2x - 1 = 0

x = 1/2

Теперь, заменим x обратно на sin^2(a):

sin^2(a) = 1/2

Так как sin^2(a) = 1 - cos^2(a), можем выразить cos^2(a):

1 - cos^2(a) = 1/2

cos^2(a) = 1 - 1/2

cos^2(a) = 1/2

Теперь, найдем значения sin(a) и cos(a):

sin(a) = ±√(sin^2(a)) = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2

cos(a) = ±√(cos^2(a)) = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2

Таким образом, решением уравнения являются следующие значения для a:

a = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

2) Уравнение: sin^4(a) - cos^4(a) = sin^2(a) - cos^2(a)

Для удобства обозначим sin^2(a) как x:

x^2 - (1 - x)^2 = x - (1 - x)

x^2 - (1 - 2x + x^2) = x - 1 + x

x^2 - 1 + 2x - x^2 = 2x - 1

x = 2x - 1

x - 2x = -1

-1x = -1

x = 1

Так как x = sin^2(a), получаем:

sin^2(a) = 1

sin(a) = ±1

Теперь найдем значения cos(a):

cos^2(a) = 1 - sin^2(a) = 1 - 1 = 0

cos(a) = ±√(cos^2(a)) = ±√(0) = 0

Таким образом, решением уравнения являются следующие значения для a:

a = π/2, 3π/2.

Проверим данные решения, подставив их обратно в исходные уравнения и убедившись, что обе стороны равны.