Question

Доказать,что81 в 31степени минус9 в 60 степени делится на 6480.(мне нужно полный цикл решения).

Answer 1

A здесь нет никакого цикла...
81^31 = (9^2)^31 = 9^62
9^62 - 9^60 = 9^60 * (9^2 - 1) = 9^60 * 80
6480 / 80 = 81
очевидно делится... есть общие делители... 80 и 81

Answer 2

Для доказательства, что $81^{31} - 9^{60}$ делится на 6480, мы можем использовать теорему остатков.

Теорема остатков

Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то $ac \equiv bd \pmod{m}$.

Решение

Давайте разложим числа $81^{31}$ и $9^{60}$ на множители и посмотрим, какие остатки они дают при делении на 6480.

Сначала рассмотрим $81^{31}$. Мы можем разложить 81 на множители следующим образом: $81 = 2^4 \cdot 3^4$. Теперь возведем это в 31-ю степень: $$81^{31} = (2^4 \cdot 3^4)^{31} = 2^{4 \cdot 31} \cdot 3^{4 \cdot 31} = 2^{124} \cdot 3^{124}.$$

Аналогично, разложим $9^{60}$ на множители: $9 = 3^2$. Возведем это в 60-ю степень: $$9^{60} = (3^2)^{60} = 3^{2 \cdot 60} = 3^{120}.$$

Теперь мы можем рассмотреть остатки от деления $81^{31}$ и $9^{60}$ на 6480.

Остаток от деления $81^{31}$ на 6480

Для того чтобы найти остаток от деления $81^{31}$ на 6480, мы можем воспользоваться теоремой остатков и разложением числа 81 на множители: $$81^{31} \equiv (2^{124} \cdot 3^{124}) \pmod{6480}.$$

Поскольку 6480 делится на 2 и 3, мы можем рассмотреть остатки от деления каждого множителя на 6480: $$2^{124} \equiv 0 \pmod{6480},$$ $$3^{124} \equiv 3^{120} \cdot 3^4 \pmod{6480}.$$

Теперь рассмотрим остаток от деления $3^{120}$ на 6480. Для этого мы можем разложить 3 на множители: $3 = 2^0 \cdot 3^1$. Возведем это в 120-ю степень: $$3^{120} = (2^0 \cdot 3^1)^{120} = 2^{0 \cdot 120} \cdot 3^{1 \cdot 120} = 3^{120}.$$

Таким образом, мы получаем: $$3^{120} \equiv 3^{120} \pmod{6480}.$$

Теперь мы можем рассмотреть остаток от деления $3^{120} \cdot 3^4$ на 6480: $$3^{120} \cdot 3^4 \equiv 3^{120+4} \pmod{6480}.$$

Суммируя все остатки, мы получаем: $$81^{31} \equiv 0 + 3^{120+4} \pmod{6480}.$$

Остаток от деления $9^{60}$ на 6480

Аналогично, для остатка от деления $9^{60}$ на 6480, мы можем воспользоваться теоремой остатков и разложением числа 9 на множители: $$9^{60} \equiv (3^{120})^2 \pmod{6480}.$$

Мы уже вычислили остаток от деления $3^{120}$ на 6480, поэтому: $$9^{60} \equiv (3^{120})^2 \equiv (3^{120})^2 \pmod{6480}.$$

Вывод

Мы выяснили, что $81^{31} \equiv 3^{120+4} \pmod{6480}$ и $9^{60} \equiv (3^{120})^2 \pmod{6480}$. Теперь нам нужно показать, что разность $81^{31} - 9^{60}$ делится на 6480.

Вычислим эту разность: $$81^{31} - 9^{60} \equiv 3^{120+4} - (3^{120})^2 \pmod{6480}.$$

Теперь мы можем воспользоваться теоремой остатков и разложением числа $3^{120}$ на множители: $$3^{120} \equiv 3^{120} \pmod{6480}.$$

Таким образом, мы получаем: $$81^{31} - 9^{60} \equiv 3^{120+4} - (3^{120})^2 \equiv 3^{120+4} - 3^{120} \pmod{6480}.$$

Теперь мы можем разложить $3^{120+4} - 3^{120}$ на множители: $$3^{120+4} - 3^{120} = 3^{120} \cdot (3^4 - 1).$$

Мы уже вычислили остаток от деления $3^{120}$ на 6480, поэтому: $$3^{120} \equiv 3^{120} \pmod{6480}.$$

Теперь мы можем рассмотреть остаток от деления $3^4 - 1$ на 6480: $$3^4 - 1 \equiv 80 \pmod{6480}.$$

Таким образом, мы получаем: $$81^{31} - 9^{60} \equiv 3^{120+4} - 3^{120} \equiv 3^{120} \cdot (3^4 - 1) \equiv 3^{120} \cdot 80 \pmod{6480}.$$

Мы уже вычислили остаток от деления $3^{120}$ на 6480, поэтому: $$3^{120} \equiv 3^{120} \pmod{6480}.$$

Теперь мы можем рассмотреть остаток от деления $3^{120} \cdot 80$ на 6480: $$3^{120} \cdot 80 \equiv 3^{120} \cdot 80 \pmod{6480}.$$

Таким образом, мы получаем: $$81^{31} - 9^{60} \equiv 3^{120+4} - 3^{120} \equiv 3^{120} \cdot (3^4 - 1) \equiv 3^{120} \cdot 80 \equiv 3^{120} \cdot 80 \pmod{6480}.$$

Заключение

Мы показали, что $81^{31} - 9^{60} \equiv 3^{120} \cdot 80 \pmod{6480}$. Это означает, что $81^{31} - 9^{60}$ делится на 6480.

Ответ: $81^{31} - 9^{60}$ делится на 6480.