Question

Доведіть,що вираз x²+10x+27 набуває лише доданих значень при всіх значеннях змінної x. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні x?

Answer 1

$x^2+10x+27=x^2+10x+25+2=(x+5)^2+2\ \textgreater \ 0$

Что и нужно было доказать

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что выражение x² + 10x + 27 принимает только положительные значения для всех значений переменной x, мы можем использовать метод завершения квадратов.

Определение метода завершения квадратов

Метод завершения квадратов - это метод, который позволяет представить квадратное выражение в виде суммы квадратов и постоянного значения. Для этого мы используем следующие шаги:

1. Разделяем коэффициент при x на две части: половину коэффициента b и его квадрат: (1/2 * b)². 2. Добавляем и вычитаем полученное значение изначального выражения. 3. Группируем квадратные члены и постоянные значения в отдельные скобки. 4. Факторизуем полученное выражение, если это возможно.

Применение метода завершения квадратов

Для выражения x² + 10x + 27, мы можем использовать метод завершения квадратов следующим образом:

1. Разделим коэффициент при x, который равен 10, на две части: половину от 10, то есть 5, и его квадрат, то есть 25: (1/2 * 10)² = 25. 2. Добавим и вычтем полученное значение изначального выражения:

x² + 10x + 27 + 25 - 25

Теперь мы имеем: x² + 10x + 25 + 2

3. Группируем квадратные члены и постоянные значения в отдельные скобки:

(x² + 10x + 25) + 2

4. Факторизуем полученное выражение:

(x + 5)² + 2

Теперь мы видим, что изначальное выражение x² + 10x + 27 можно представить в виде суммы квадрата выражения (x + 5) и постоянного значения 2.

Вывод

Поскольку квадратное выражение (x + 5)² всегда будет неотрицательным (так как это квадрат), а постоянное значение 2 положительное, мы можем заключить, что выражение x² + 10x + 27 будет принимать только положительные значения для всех значений переменной x.

Нахождение наименьшего значения выражения

Наименьшее значение выражения (x + 5)² + 2 будет достигаться, когда выражение (x + 5)² будет равно нулю. Это происходит, когда x = -5.

Таким образом, наименьшее значение выражения x² + 10x + 27 равно 2 и достигается при x = -5.