Question

Решите уравнение 1+sin2x=cosx+sinx

Answer 1

1+sin2x=cosx+sinx\\
1+2sinxcosx=cosx+sinx\\
1+4sinxcosx+4sin^2xcos^2x=cos^2x+sin^2x+2sinxcosx\\
1+4sinxcosx+(2sinxcosx)^2=1+sin2x\\
0=(sin2x)^2+sin2x\\
sin2x(sin2x+1)=0\\
sin2x=0\iff 2x=k\pi\iff x=k\frac{{\pi}{2}\\
sin2x=-1\iff 2x=\frac{{3}{2})\pi+2k\pi\iff x=\frac{{3}{4}}\pi +k\pi

Answer 2

Давайте решим уравнение 1 + sin(2x) = cos(x) + sin(x) подробно.

Первый шаг: Приведение к тригонометрическому виду

Для начала, мы можем заметить, что у нас есть два различных тригонометрических терма: sin(2x) и cos(x). Давайте преобразуем уравнение, чтобы оно содержало только один тригонометрический терм.

Используя тригонометрическую формулу для синуса удвоенного угла (sin(2x) = 2sin(x)cos(x)), мы можем переписать уравнение следующим образом: 1 + 2sin(x)cos(x) = cos(x) + sin(x).

Второй шаг: Группировка и упрощение

Теперь давайте группируем термы, содержащие sin(x) и cos(x): 1 + sin(x) - cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 0.

Третий шаг: Решение уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x) и cos(x). Давайте решим его.

Мы можем рассмотреть это квадратное уравнение как функцию от sin(x) или cos(x) и применить квадратные формулы. Для удобства, давайте представим sin(x) как переменную t.

Тогда уравнение примет вид: 2t^2 + t - 1 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, метода дискриминанта или формулы корней.

Решая это квадратное уравнение, мы получим два значения для t: t = 1 и t = -0.5.

Четвертый шаг: Нахождение значений угла

Теперь, найдя значения для t, мы можем найти значения для sin(x) и cos(x).

Для t = 1: sin(x) = t = 1 cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)) = sqrt(1 - 1^2) = 0

Для t = -0.5: sin(x) = t = -0.5 cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)) = sqrt(1 - (-0.5)^2) = sqrt(1 - 0.25) = sqrt(0.75)

Пятый шаг: Проверка решений

Теперь, чтобы проверить наши решения, мы можем подставить найденные значения sin(x) и cos(x) обратно в исходное уравнение и убедиться, что обе части равны.

Подставляя значения для t = 1: 1 + sin(2x) = 1 + sin(2*0) = 1 + sin(0) = 1 + 0 = 1 cos(x) + sin(x) = 0 + 1 = 1

Подставляя значения для t = -0.5: 1 + sin(2x) = 1 + sin(2*asin(-0.5)) = 1 + sin(-asin(0.5)) = 1 + sin(-30) = 1 - 0.5 = 0.5 cos(x) + sin(x) = sqrt(0.75) - 0.5 = 0.866 - 0.5 = 0.366

К сожалению, значения sin(x) и cos(x), полученные для t = -0.5, не удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ:

Итак, уравнение 1 + sin(2x) = cos(x) + sin(x) имеет только одно решение: sin(x) = 1, cos(x) = 0.

То есть, x = pi/2 + 2*pi*n, где n - целое число.

Проверив это решение, мы убедились, что оно удовлетворяет исходному уравнению.