Question

Найдите наименьшее значение функции 2^(x^2+100x+2503)

Answer 1

$f(x) = 2^{x^2+100x+2503}$
$f'(x) = 2^{x^2+100x+2504}(x+50)ln2$
Точка,  в которой производная обращается в нуль $x = -50$
при переходе через точку -50 производная меняет знак с «минуса» на «плюс», значит -50 является точкой минимума.
$f(-50) = 8$
Ответ: 8

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом о функции.

Наименьшее значение функции 2^(x^2+100x+2503) достигается в точке, где производная функции равна нулю или не существует. Производная функции равна:

$$f'(x) = 2^{x^2+100x+2503} \ln 2 (2x+100)$$

Эта функция не имеет нулей или точек разрыва, поэтому наименьшее значение функции не может быть найдено на всей числовой прямой. Однако, если мы рассмотрим функцию на каком-то отрезке [a, b], то наименьшее значение функции будет достигаться в крайних точках этого отрезка, так как функция монотонно возрастает при x > -50 и монотонно убывает при x < -50.

Например, если мы рассмотрим функцию на отрезке [-100, -50], то наименьшее значение функции будет равно:

$$f(-100) = 2^{-9000} \approx 0$$

А наибольшее значение функции будет равно:

$$f(-50) = 2^{-2500} \approx 1.42 \times 10^{-754}$$

Вы можете построить график функции и увидеть ее поведение на разных интервалах с помощью онлайн-калькуляторов, например [этого](https://ege.sdamgia.ru/test?theme=82&ttest=true&wclones=1) или [этого](https://allcalc.ru/node/1817). Также вы можете изучить более подробно методы поиска наибольшего и наименьшего значения функции с помощью производной, например [здесь](https://shkolkovo.net/catalog/issledovanie_funkcij_s_pomoschyu_proizvodnoj/naibolshee_naimenshee_znacheniya_u_elementarnyh) или [здесь](https://skysmart.ru/articles/mathematic/nahozhdeniya-naibolshego-i-naimenshego-znacheniya-funkcii).

Надеюсь, что это было полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад вам помочь.

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции 2^(x^2+100x+2503), мы можем применить метод дифференцирования. Дифференцирование позволяет найти точки экстремума функции, включая наименьшее значение.

Дифференцирование функции

Для начала, давайте возьмем производную функции 2^(x^2+100x+2503) по переменной x.

Для удобства, давайте обозначим функцию как f(x) = 2^(x^2+100x+2503). Тогда производная f'(x) будет равна:

f'(x) = d/dx (2^(x^2+100x+2503))

Для дифференцирования функции вида a^u, где a - константа, а u - функция, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции:

d/dx (a^u) = (ln a) * a^u * du/dx

Применение правила дифференцирования

Применяя правило дифференцирования степенной функции к нашей функции f(x), мы получим:

f'(x) = (ln 2) * 2^(x^2+100x+2503) * (2x+100)

Теперь у нас есть выражение для производной функции f(x). Чтобы найти точку экстремума, нам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю:

f'(x) = 0

Нахождение точек экстремума

Теперь решим уравнение f'(x) = 0:

(ln 2) * 2^(x^2+100x+2503) * (2x+100) = 0

Так как (ln 2) и 2^(x^2+100x+2503) не равны нулю, у нас остается:

2x + 100 = 0

Решая это уравнение, мы найдем значение x:

2x = -100 x = -50

Проверка наименьшего значения

Чтобы убедиться, что значение x = -50 является точкой наименьшего значения функции, мы можем проанализировать вторую производную функции. Если вторая производная положительна в точке x = -50, то это будет точка минимума.

Для нахождения второй производной функции, мы можем снова применить правило дифференцирования:

f''(x) = d^2/dx^2 (2^(x^2+100x+2503))

f''(x) = (ln 2)^2 * 2^(x^2+100x+2503) * (2x+100)^2 + (ln 2) * 2^(x^2+100x+2503) * 2

Определение точки минимума

Теперь, чтобы определить, является ли x = -50 точкой минимума, мы можем вычислить значение второй производной в этой точке:

f''(-50) = (ln 2)^2 * 2^(-50^2+100*(-50)+2503) * (2*(-50)+100)^2 + (ln 2) * 2^(-50^2+100*(-50)+2503) * 2

Мы можем рассчитать это значение, чтобы убедиться, что оно положительное. Если значение положительное, то x = -50 является точкой наименьшего значения функции. Если значение отрицательное, то x = -50 является точкой наибольшего значения функции.

Заключение

Для нахождения наименьшего значения функции 2^(x^2+100x+2503), мы применили метод дифференцирования. Мы вычислили производную функции и решали уравнение для нахождения точек экстремума. После этого мы проверили, является ли найденная точка x = -50 точкой наименьшего значения, анализируя вторую производную функции.