Question

Докажите что значение выражения n^5 – 5n^4 +10n^3 –10n^2 + 5n –1 кратно 32 при нечетном n

Answer 1

$A=n^5-5n^4+10n^3-10n^2+5n-1=(n-1)^5.$

По условию n - нечетное, то есть n=2k+1. Поэтому

$A=(2k+1-1)^5=(2k)^5=2^5\cdot k^5=32k^5.$

Утверждение доказано.

Answer 2

Для доказательства, что значение выражения n^5 – 5n^4 + 10n^3 – 10n^2 + 5n – 1 кратно 32 при нечетном n, мы можем использовать метод математической индукции.

Базовый шаг:

Для n = 1, значение выражения будет: 1^5 – 5(1)^4 + 10(1)^3 – 10(1)^2 + 5(1) – 1 = 1 – 5 + 10 – 10 + 5 – 1 = 0.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого нечетного n значение выражения n^5 – 5n^4 + 10n^3 – 10n^2 + 5n – 1 кратно 32.

Индукционный шаг:

Докажем, что если предположение индукции верно для некоторого нечетного n, то оно также верно для n + 2.

Рассмотрим значение выражения для n + 2: (n + 2)^5 – 5(n + 2)^4 + 10(n + 2)^3 – 10(n + 2)^2 + 5(n + 2) – 1.

Раскроем скобки и упростим выражение: (n^5 + 10n^4 + 40n^3 + 80n^2 + 80n + 32) – 5(n^4 + 8n^3 + 24n^2 + 32n + 16) + 10(n^3 + 6n^2 + 12n + 8) – 10(n^2 + 4n + 4) + 5(n + 2) – 1.

Упростим каждое слагаемое: n^5 + 10n^4 + 40n^3 + 80n^2 + 80n + 32 – 5n^4 – 40n^3 – 120n^2 – 160n – 80 + 10n^3 + 60n^2 + 120n + 80 – 10n^2 – 40n – 40 + 5n + 10 – 1.

Сократим подобные слагаемые: n^5 – 5n^4 + 10n^3 – 10n^2 + 5n – 1 + 32.

Используя предположение индукции, мы знаем, что значение выражения n^5 – 5n^4 + 10n^3 – 10n^2 + 5n – 1 кратно 32 для нечетного n. Таким образом, значение выражения (n + 2)^5 – 5(n + 2)^4 + 10(n + 2)^3 – 10(n + 2)^2 + 5(n + 2) – 1 также будет кратно 32 для нечетного n + 2.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения n^5 – 5n^4 + 10n^3 – 10n^2 + 5n – 1 кратно 32 при нечетном n.

[[1]](https://algebra.my-dict.ru/q/8324582_dokazite-cto-znacenie-vyrazenian-5-5n/)