Question

Докажите, что при любых значениях переменных многочлен x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 Принимает не отрицательные значения. Примечание: ^2, - степень. Заранее спасибо :)

Answer 1

(х^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=(x-2)^2+(y+3)^2>0 при любых х,y , т. к. сумма квадратов всегда больше 0.

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных, мы можем воспользоваться методом завершения квадратного трехчлена.

Метод завершения квадратного трехчлена

Метод завершения квадратного трехчлена позволяет представить данный многочлен в виде суммы квадратов двух линейных выражений. Если мы сможем представить многочлен в таком виде, то это будет означать, что он принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Для начала, давайте преобразуем данный многочлен:

x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13

Мы можем разбить его на две части: часть, содержащую переменную x, и часть, содержащую переменную y:

(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 13

Теперь мы можем завершить квадратные трехчлены в каждой из этих частей. Для этого нам нужно добавить и вычесть определенные значения:

(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 13

Теперь мы можем переписать многочлен в виде суммы квадратов двух линейных выражений:

((x - 2)^2 - 4) + ((y + 3)^2 - 9) + 13

Теперь давайте проанализируем каждую из этих частей:

1. (x - 2)^2 - 4: Это квадрат разности переменной x и числа 2, вычитаемое 4. Квадрат разности всегда неотрицателен, а вычитание 4 не изменяет этого свойства. Таким образом, эта часть многочлена принимает неотрицательные значения.

2. (y + 3)^2 - 9: Это квадрат суммы переменной y и числа 3, вычитаемое 9. Как и в предыдущем случае, квадрат суммы всегда неотрицателен, а вычитание 9 не изменяет этого свойства. Таким образом, и эта часть многочлена принимает неотрицательные значения.

3. 13: Это постоянное значение и не зависит от переменных. Очевидно, что 13 является неотрицательным числом.

Таким образом, каждая из трех частей многочлена принимает неотрицательные значения. А поскольку сумма неотрицательных чисел также является неотрицательным числом, то весь многочлен x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное доказательство основано на математическом методе завершения квадратного трехчлена и не требует использования внешних источников.