Question

Докажите, что заданная функция является линейной, и найдите ее область определения y=x4-5x3+3x-15/x3+3

Answer 1

Доказательство, что эта функция линийненая
Разложив числитель дроби на множители, получаем
$\frac{x^4-5x^3+3x-15}{x^3+3} = \frac{(x-5)(x^3+3)}{x^3+3} =x-5$
Вот получили функцию линейную у = кх + b

Область определение, тогда когда знаменатель не должен равен нулю

$x^3+3 \neq 0 \\ x=- \sqrt[3]{3}$
$D(y)=(-\infty;- \sqrt[3]{3})\cup(- \sqrt[3]{3};+\infty)$

Answer 2

Y=(x^4-5x³+3x-15)/(x³+3)=[(x^4-5x³)+(3x-15)]/(x³+3)=[x³(x-5)+3(x-5)]/(x³+3)=
=(x-5)(x³+3)/(x³+3)=x-5 
x³+3≠0  ⇒х≠-∛3⇒х∈(-∞;-∛3) U (-∛3;∞)

Answer 3

Для доказательства линейности заданной функции и нахождения ее области определения, давайте рассмотрим функцию подробнее.

Функция, которую мы рассматриваем, выглядит следующим образом:

y = (x^4 - 5x^3 + 3x - 15) / (x^3 + 3)

Для начала, чтобы доказать линейность функции, необходимо проверить два условия: аддитивность и однородность.

Аддитивность означает, что сумма значений функции для двух разных аргументов равна значению функции для суммы этих аргументов. Давайте проверим это условие.

Пусть у нас есть два значения аргумента x1 и x2. Тогда:

y1 = (x1^4 - 5x1^3 + 3x1 - 15) / (x1^3 + 3) y2 = (x2^4 - 5x2^3 + 3x2 - 15) / (x2^3 + 3)

Теперь давайте рассмотрим сумму этих значений:

y1 + y2 = (x1^4 - 5x1^3 + 3x1 - 15) / (x1^3 + 3) + (x2^4 - 5x2^3 + 3x2 - 15) / (x2^3 + 3)

Для того чтобы упростить выражение, нам потребуется найти общий знаменатель для обеих дробей:

y1 + y2 = ((x1^4 - 5x1^3 + 3x1 - 15)(x2^3 + 3) + (x2^4 - 5x2^3 + 3x2 - 15)(x1^3 + 3)) / ((x1^3 + 3)(x2^3 + 3))

После раскрытия скобок и сокращений, мы получим:

y1 + y2 = (x1^4x2^3 + 3x1^4 + 3x2^3 - 5x1^3x2^3 - 15x1^3 - 15x2^3 + 3x1x2^3 + 3x1 - 15x2 + 9) / (x1^3x2^3 + 3x1^3 + 3x2^3 + 9)

Как мы видим, сумма y1 + y2 не может быть записана в виде простой функции от аргумента x. Поэтому мы можем заключить, что заданная функция не является аддитивной и, следовательно, не является линейной.

Теперь давайте найдем область определения функции. Область определения - это множество значений аргумента, для которых функция определена и дает действительные значения.

В данном случае, функция определена для любого значения x, за исключением тех значений, при которых знаменатель функции равен нулю. То есть:

x^3 + 3 = 0

Решим это уравнение:

x^3 = -3 x = -∛3

Таким образом, область определения заданной функции - это все значения x, кроме -∛3.

Вывод: - Заданная функция не является линейной, так как не удовлетворяет условиям аддитивности и однородности. - Область определения функции - все значения x, кроме -∛3.