Question

СРОЧНООООООООООООООО!!!!!!!!!!! ДАЮ 20 БАЛЛОВ (ИБО ОЧЕНЬ СРОЧНООО) Целые числа m и n такие, что m(2 степень)+9mn+n(2 степень) делится на 11. Докажите, что выражение m(2 степень)-n(2 степень) делится на 11.

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим условие задачи и попробуем найти числа m и n, которые удовлетворяют данным условиям.

У нас есть два условия:

1. m^2 + 9mn + n^2 делится на 11. 2. Нужно доказать, что m^2 - n^2 также делится на 11.

Для решения этой задачи воспользуемся методом проб и ошибок и проверим различные значения m и n, чтобы найти соответствующие числа, которые удовлетворяют обоим условиям.

Начнем с предположения, что m и n являются целыми числами и попробуем различные комбинации, начиная с маленьких чисел.

Попробуем некоторые значения m и n:

1. m = 1, n = 1: Подставим значения m и n в первое условие: 1^2 + 9(1)(1) + 1^2 = 1 + 9 + 1 = 11 Значение делится на 11, поэтому это возможное решение.

Теперь подставим значения m и n во второе условие: 1^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0 Значение также делится на 11, поэтому это соответствует условию задачи.

Таким образом, для m = 1 и n = 1 оба условия выполняются.

2. m = 2, n = 3: Подставим значения m и n в первое условие: 2^2 + 9(2)(3) + 3^2 = 4 + 54 + 9 = 67 Значение не делится на 11, поэтому это не является решением.

Таким образом, m = 2 и n = 3 не удовлетворяют условиям задачи.

Продолжим проверять другие комбинации значений m и n, чтобы найти другие возможные решения.

После проверки нескольких комбинаций, мы можем заметить, что если m и n оба делятся на 11, то их разность m^2 - n^2 также будет делиться на 11.

Доказательство:

Пусть m и n являются целыми числами такими, что m^2 + 9mn + n^2 делится на 11.

Тогда m^2 + 9mn + n^2 = 11k, где k - целое число.

Рассмотрим выражение m^2 - n^2:

m^2 - n^2 = (m^2 + 9mn + n^2) - 10mn = 11k - 10mn.

Мы знаем, что m^2 + 9mn + n^2 делится на 11, поэтому мы можем записать это выражение в виде 11k.

Тогда m^2 - n^2 = 11k - 10mn = 11k - 11mn + mn = 11(k - mn) + mn.

Выражение mn является произведением двух целых чисел и, следовательно, делится на 11. Таким образом, mn можно записать в виде 11l, где l - целое число.

Тогда m^2 - n^2 = 11(k - mn) + mn = 11(k - 11l) + 11l = 11(k - 11l + l).

Выражение k - 11l + l является разностью двух целых чисел и, следовательно, является целым числом.

Таким образом, m^2 - n^2 является произведением 11 и целого числа, а значит, делится на 11.

Итак, мы доказали, что если m^2 + 9mn + n^2 делится на 11, то и m^2 - n^2 также делится на 11.

Надеюсь, это помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.