Question

В Клетчатом квадрате 6*6 вначале пустом,Саша закрашивает по 1 ой клетке вписывая в каждую только что закрашенную клетку количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток,докажите что когда будут закрашены все клетки.сумма чисел в них будет равна 60

Answer 1

Задание с олимпиады :)

Ну так вот. Попробую объяснить. Смысл в том, что каждая клетка имеет определенное количество граней (от 2 до 4) и по мере записывания чисел в этот квадрат количество задействованных граней увеличивается.

Таким образом если посчитать количество граней, то их получится всегда 60. Поэтому чтобы мы не писали в клетки сумма всегда будет 60.

Как-то так.  

Answer 2

Давайте рассмотрим процесс закрашивания клеток. В начале у нас есть пустой квадрат 6*6. Саша начинает закрашивать клетки, и мы видим, что каждая закрашенная клетка будет иметь значение от 1 до 4 в зависимости от того, сколько ранее закрашенных клеток граничат с ней.

Давайте докажем, что сумма чисел в закрашенных клетках будет равна 60, когда все клетки будут закрашены.

Для начала заметим, что сумма чисел в закрашенных клетках зависит только от количества закрашенных клеток и их расположения. Так как сумма чисел в закрашенных клетках равна 60, то их среднее значение равно 2.5 (60 / 24 = 2.5).

Теперь заметим, что каждая закрашенная клетка имеет значение от 1 до 4. Из этого следует, что сумма значений всех закрашенных клеток будет равна сумме чисел от 1 до 4, умноженной на количество закрашенных клеток. Это равно 10 * 24 = 240.

Теперь мы знаем, что сумма значений всех закрашенных клеток равна 240. Но мы также знаем, что сумма значений всех закрашенных клеток должна быть равна 60. Противоречие! Значит, утверждение не верно.

Таким образом, когда все клетки будут закрашены, сумма чисел в них не будет равна 60.