Question

При каких натуральных n число 6^n-5^n является точным квадратом ?

Answer 1

Бином Ньютона
(a^n - b^n) = (a - b)(a^(n-1) - a^(n-2)*b + a^(n-3)*b^2 - ... - a*b^(n-2) + b^(n-1))
У нас а = 6, b = 5.
6^n - 5^n = (6-5)(6^(n-1) - 6^(n-2)*5 + 6^(n-3)*5^2 - ... - 6*5^(n-2) + 5^(n-1))
Квадрат здесь только один: 6 - 5 = 1, n = 1

Answer 2

При каких натуральных n число 6^n - 5^n является точным квадратом?

Чтобы определить при каких натуральных n число 6^n - 5^n является точным квадратом, давайте рассмотрим имеющуюся информацию.

Поиск не дал явного ответа на данный вопрос. Однако, мы можем провести некоторые рассуждения, чтобы приблизительно определить, при каких n число 6^n - 5^n может быть точным квадратом.

Мы знаем, что для числа быть точным квадратом, его разложение на простые множители должно иметь только четные показатели.

Разложим число 6^n - 5^n на простые множители: 6^n - 5^n = (6 - 5)(6^(n-1) + 6^(n-2) * 5 + 6^(n-3) * 5^2 + ... + 5^(n-1))

Мы видим, что первый множитель (6 - 5) всегда равен 1, поэтому он не влияет на четность разложения на простые множители числа 6^n - 5^n.

Остается рассмотреть второй множитель (6^(n-1) + 6^(n-2) * 5 + 6^(n-3) * 5^2 + ... + 5^(n-1)).

Мы можем заметить, что каждый член этой суммы имеет различные показатели для 6 и 5. Это означает, что каждый член будет иметь различные четности.

Таким образом, сумма членов этой суммы не может быть точным квадратом, так как она будет иметь нечетное разложение на простые множители.

Вывод: Нет натуральных чисел n, при которых число 6^n - 5^n является точным квадратом.