Question

Задание указано на картинке

Answer 1

$\frac{1}{ \sqrt{1} + \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{1599}+ \sqrt{1600} } =$
Избавимся от иррациональностей в знаменателях
$=\frac{ (\sqrt{1} - \sqrt{2} )}{ (\sqrt{1} + \sqrt{2} ) (\sqrt{1} - \sqrt{2} )} + \frac{(\sqrt{2}- \sqrt{3})}{ (\sqrt{2}+ \sqrt{3})(\sqrt{2}- \sqrt{3}) } +...+ \frac{( \sqrt{1599}- \sqrt{1600})}{( \sqrt{1599}+ \sqrt{1600})( \sqrt{1599}- \sqrt{1600}) } =$
$=\frac{ (\sqrt{1} - \sqrt{2} )}{ (\sqrt{1}) ^{2} -( \sqrt{2} ) ^{2} } + \frac{(\sqrt{2}- \sqrt{3})}{ (\sqrt{2}) ^{2} - (\sqrt{3}) ^{2} } +...+ \frac{( \sqrt{1599}- \sqrt{1600})}{( \sqrt{1599}) ^{2} - (\sqrt{1600}) ^{2} } =$
$=\frac{ (\sqrt{1} - \sqrt{2} )}{ -1 } + \frac{(\sqrt{2}- \sqrt{3})}{-1 } +...+ \frac{( \sqrt{1599}- \sqrt{1600})}{-1 } = \\ =- \sqrt{1}+ \sqrt{2}- \sqrt{2}+ \sqrt{3}-... - \sqrt{1599}+ \sqrt{1600}= \sqrt{1600}-1=40-1 \\ =39$